由这两个引理,我们可得下面的定理4 定理1:假设M(xy,M(xy)在矩形城G:a<x<b,c<y<d内连续可微 则M(xx+Mx)=0为恰当方程的充分必要条件是M=N ax
证明:(必要性)设M(x)a+M(x,)=0为恰当方程,即 存在可微数Ux使得dxy)=M(xy)+M(x),又显然 d(x以seU,BU 一ax+一印 于是4 e+分,BU 中≡M(x,y)x+Mx,y)中 由a中的任意性,得到 8U=M(xy),87 N(x, y) 将上两式分别对y,x求偏导数,得到4 B,2 印Bx ax 由,。的连续性及引理1,可得℃=,故:-N ay a ayax a
(充分性)[分析:如果M(x)MXxy)满足=0,我 x 们要证明M(x)ax+Mx,y)=0为恰当方程,即存在可微函数Uxy)使 得 do(x, y)=M(x, y)dx+N(, y)ay w 下面我们在证明M(x,)x+M(x中=0为恰当方程的同时,求出U(x,y) 这种证明方法在数学上称为构造性证明].4
因为所求的x应满足=M(x),0=Mxy),设(x)eG, x 在等式 M(xy)中,将y看作参数,则 x U(x,y)=M(x,y)x+m(y),其中)为y的任意连续可微函数 为确定吖x,只需确定)即可.为确定ay),我们注意到x还 应满足=Mx),将 ay JM(r, y)dx +o) 代入,得到 -JM(, y)dx +o(y)=N, y)+ x
再由条件=时,得到 ay ax JN (x, y)dx +o()=N(x, y)+ 对∫(x)减x,利用 Newton-Leibni公式,于是上式变为 N(x, y)-Nro, y)+o()=N(r, y) 化简后,得到 (v)=N(ra,y)