§24行列式的基本性质
§2.4 行列式的基本性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事,本节要导出行列 式运算的一些性质,利用这些性质,将使行列式的计算大为 简化 转置行列式:把n阶行列式D={2a的第行 变为第i列(ⅰ=1,2,…,n)所得的行列式 11021 2a2a2称为D的转置行列式,用D表示。 第二章行列式
第二章 行列式 直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列 式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为 简化。 转置行列式：把n阶行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 的第i行 变为第i列（i=1，2，…，n）所得的行列式 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 称为D的转置行列式，用 D 表示
性质1:行列式D与它的转置行列式相等。(转置变换) 证:考察D的任意项a1na21…an (1) 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积,因而 也是取自D′的第j,2…n行,1,2,…,n列的 n个元素的乘积,因而也是D中的一项 12 Inn (2) 1)项所带的符号是(-1)2m0),(2)项所带 的符号也是( 1)()+(2.n) 。因而D中的任一项均为 D中的项而且所带的符号也相同。同理可知D中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D=D 性质1表明,在行列式中,行与列的地位是相同的。凡是对行 成立的性质,对列也同样成立 第二章行列式
第二章 行列式 性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换） 证：考察D的任意项 1 2 1 2 n j j nj a a a —（1） 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而 也是取自 D 的第 1 2 , , , n j j j 行，1，2，…，n列的 n个元素的乘积，因而也是 D 中的一项: 1 2 1 2 n j j j n a a a —（2）。 （1）项所带的符号是 ( ) (12 ) ( 1 2 ) 1 n n j j j + − , (2)项所带 的符号也是 ( ) ( 1 ) (12 ) 1 n j j n + − 。因而D中的任一项均为 D 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 D 中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D= D . 性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行 成立的性质，对列也同样成立
性质2:把行列式D中某一行(列)的所有元素同乘以常数k, 相当于用数k乘这个行列式,即 2 k kaml=AD(倍法变换) n2 证明:an1a12 ∑(-1) ka J12J2 第二章行列式
第二章 行列式 性质2 ：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k， 相当于用数k乘这个行列式，即 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka kD a a a = （倍法变换） 证明： 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n i n j j j j ij nj a a ka a = −
∑(-1) kla 2 推论1:一个行列式中某一行(列)所有元素的公因式可以提 到行列式的符号外面 推论2:如果行列式中某一行(列)所有元素都为零,则这个 行列式等于零。 在性质2中,取k=0,即知结论成立。 性质3:交换行列式D中的某两行(列),行列式变号。 (换法变换) 第二章行列式
第二章 行列式 ( ) ( 1 ) 1 2 1 2 1 n i n j j j j ij nj k a a a a = − 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a k a a a a a a = 推论1：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提 到行列式的符号外面。 推论2：如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个 行列式等于零。 在性质2中，取k=0，即知结论成立。 性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。 （换法变换）