Liapunov第二方 法
Liapunov第二方 法
、按装性近佩判定非线性黴分方解的稳定性的缺陷 y 2k+1 丌 y=x+yx +y t y x(2+y2)j0 y=x-ylx+y 线性化系统为: 考虑无阻力数学摆 8 sIn d
一、按线性近似判定非线性微分方程解的稳定性的缺陷 ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + + + = − + + + sin . 1, sin . sin , 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 r r r x y y x y x y x y x y x x y k ( ) ( ) = − = = − + = − − + . 1, . , 2 2 3 2 2 y x y x y r r x y x x y 线性化系统为： = = − . , y x x y 二、考虑无阻力数学摆 = − = sin . , x l g y x y
=-7Sma→,y2+8 COSX)=C 取函数 V(x,y=y+o(1-cos x) 2 性质:1.7(00)=0 2.当0<x<,y∈R\0时,(x,y)>0 →1y2+3(1-csx)=c(0<c<<1)为一族曲线,且随 c→>0+,闭曲线收缩到原点 (x()y()=V.(x(O)y()+,(x(G)y()j t a y(sin x(t)+y(sin x()=0
(1 cos ) . 2 1 sin 2 x c l g xdx y l g ydy = − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) ( )( sin ( )) 0. ( , ) ( , ) ( , ) = + − = + x t l g y t x t y t l g V x t y t x V x t y t y dt dV x t y t x y 取函数 性质: 2. 0 , \ {0} , ( , ) 0. 1. (0,0) 0. = x y R V x y V 当 时 0 , . (1 cos ) (0 1) , 2 1 2 闭曲线收缩到原点 为一族闭曲线 且随 → + + − = c x c c l g y (1 cos ) 2 1 ( , ) 2 x l g V x y = y + −
从t0到t积分得 V(x(),y(o)=v(x(to),yto)) →相平面上经过曲线(x,y)=(x(0)y(t 上的点轨线将沿此曲线走 思考 dv(x(o),y( <O(>0) dt Liapunovν第二方法思想:构造特殊函数,通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性. 特殊函数 Liapunov函数 Liapunov第一方法:直接把解表示成级数形式
( ( ), ( )) ( ( ), ( )). 0 0 0 V x t y t V x t y t t t = 从 到 积分得 ( ) ( ) . ( , ) ( , ) 0 0 上的点轨线将沿此曲线走 相平面上经过曲线V x y = V x t y t ( ) ( ) 0 ( 0) ? ( , ) : dt dV x t y t 思考 Liapunov第二方法思想：构造特殊函数，通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性． 特殊函数 Liapunov函数 Liapunov第一方法：直接把解表示成级数形式
Li punoⅴ第二方法的一般理论 dx f( (6.34) dt 其中 ,, x (x) f2( x f(0)=0.f(x)在某区域G:|≤A(A为正常数 有连续偏导数
三、 Liapunov第二方法的一般理论 ( ) (6.34) f x dt dx = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( ) : 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n f x x x f x x x f x x x f x x x x x 其中 . (0) 0. ( ) : ( ) 有连续偏导数 f = f x 在某区域G x A A为正常数 内