I(E)= (32) l(F)=lim/(Ek)=lim) 3、谢尔宾斯基地毯 波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间构造了几个典型的例子,这些怪物常称 作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”。如今,讲分形都要提到。它们不但有趣,而且有 助于形象地理解分形。 AAA AAAAAAAAAAAAAAAA 图33谢尔宾斯基三角形
60 0 3 2 ( ) lim ( ) lim 3 2 ( ) = = = = → → k k k k k k l F l E l E （3.2） 3、谢尔宾斯基地毯 波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪物常称 作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵” 。如今，讲分形都要提到。它们不但有趣，而且有 助于形象地理解分形。 图 3.3 谢尔宾斯基三角形
第二节分形维数及其测算 维数是几何对象的一个重要特征量,传统的欧氏几何学研究的是直线、平面、圆、立方 体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述,点是零维,线是一维,面是二维,体是 三维。但仔细观看,对于大自然用分形维数来描述可能会更接近实际 、拓扑维数 个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个 维几何体一边长为单位长度的正方形,若用尺度r=1/2的小正方形去分割,则覆盖它所需 要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式: (3.3) 若r=14,则有 N()=16= (3.4) 当r=1/k(k=1,2,3,…)时,则有 N()=k2 (3.5) 般地,如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d维的几何对象,则覆盖它所需要的小盒子 数目N)和所用尺度r的关系为 两边求自然对数变形得 In N(r) (3.7) n(1/r d即定义为拓扑维数。 二、豪斯道夫维数 几何对象的拓扑维数有两个特点:一是d为整数:二是盒子数量虽然随着测量尺度变小 而不断增大,几何对象的总长度(总面积或总体积)保持不变。但从前述海岸线的讨论得知它 的总长度会随测量尺度的变小而变长,最后将趋于无穷大。因此,对于分形几何对象,需要 将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形,可以得出分形维数的 定义为 In N(r) (3.8) r0 In(1/r) 式38就是豪斯道夫( Hausdorff)分形维数(简称分维)。拓扑维数是分维的一种特例
61 第二节 分形维数及其测算 维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究的是直线、平面、圆、立方 体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是 三维。但仔细观看，对于大自然用分形维数来描述可能会更接近实际。 一、拓扑维数 一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个 二维几何体—边长为单位长度的正方形，若用尺度 r=1/2 的小正方形去分割，则覆盖它所需 要的小正方形的数目 N(r)和尺度 r 满足如下关系式: 2 ) 2 1 ( 1 ) 4 2 1 N( = = （3.3） 若 r=1/4，则有 2 ) 4 1 ( 1 ) 16 4 1 N( = = （3.4） 当 r=1/k（k=1，2，3，…）时，则有 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( k k k N = = （3.5） 一般地，如果用尺度为 r 的小盒子覆盖一个 d 维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子 数目 N(r)和所用尺度 r 的关系为 d r N r 1 ( ) = （3.6） 两边求自然对数变形得 ln(1/ ) ln ( ) r N r d = （3.7） d 即定义为拓扑维数。 二、豪斯道夫维数 几何对象的拓扑维数有两个特点：一是 d 为整数；二是盒子数量虽然随着测量尺度变小 而不断增大，几何对象的总长度(总面积或总体积)保持不变。但从前述海岸线的讨论得知它 的总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要 将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的 定义为： ln(1/ ) ln ( ) lim 0 0 r N r D r→ = （3.8） 式 3.8 就是豪斯道夫（Hausdorff）分形维数（简称分维）。拓扑维数是分维的一种特例
分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。 可以用分形模拟真实的海岸线:首先在单位长度的一条直线的中间1/3处凸起一个边长 为1/3的正三角形,下一步是在每条直线中间1/3处凸起一个边长为(1/3)2的正三角,如此无 穷次地变换下去,最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分形。每次变换所得到的图 形,相当于用尺度r对海岸线分形进行了一次测量,如果设尺度r测得覆盖海岸线的盒子数 为N(),海岸线的长度为L(r),则有 当r=1/3时, N(r)=4,L( (3.9) 当r(1/3)2时 N(r)=42,L()=()2 (3.10) 当r(1/3时, N(r)=4",L(r)=()” (3.11) 根据分维的定义可得海岸线的 Hausdorff维数为: D=lin In N(r)In4212618 (3.12) r-o In(1/r) In 3 显然,L()与N(r)之间的关系为 L(r=N(r).r (3.13) 海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在的空间维2。长度Lr)随测量尺度r的变小 而变长,在r→0时,L()→∞。当海岸线分形的自相似变换程度复杂性有所增加时,海岸线 的分维也会相对地增加 Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合,拓扑维数为d=0。构造方法是把(0, 1)区间上的线段分成三等份后去掉中段,剩下的每段再三等份后去掉中段,如此自相似变换 无穷次,最后剩下的就是无穷稀疏又无穷多点的集合。用尺度为r=(1/3)严的小盒子覆盖,小 盒子数为N(r)=2,其 Hausdorff维数是 D.=hnNr)=n2=06303 (3.14) In(1/r) In 3 三、信息维数 如果将每一个小盒子编上号,并记分形中的部分落入第i个小盒子的概率为P,那么用 尺度为r的小盒子所测算的平均信息量为: =∑PlnP 若用信息量I取代小盒子数N()的对数就可以得到信息维D1的定义: ∑PnP D=lim -is (3.16) r→0ln(1/r) 如果把信息维看作 Hausdorff维数的一种推广,那么 Hausdorff维数应该看作一种特殊情
62 分维 D0 大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。 可以用分形模拟真实的海岸线：首先在单位长度的一条直线的中间 1/3 处凸起一个边长 为 1/3 的正三角形，下一步是在每条直线中间 1/3 处凸起一个边长为(1/3)2 的正三角，如此无 穷次地变换下去，最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分形。每次变换所得到的图 形，相当于用尺度 r 对海岸线分形进行了一次测量，如果设尺度 r 测得覆盖海岸线的盒子数 为 N(r)，海岸线的长度为 L(r)，则有： 当 r=1/3 时， 3 4 N(r) = 4， L(r) = （3.9） 当 r=(1/3) 2 时， 2 2 ) 3 4 N(r) = 4 ，L(r) = ( （3.10） 当 r=(1/3)n 时， n n N r L r ) 3 4 ( ) = 4 ， ( ) = ( （3.11） 根据分维的定义可得海岸线的 Hausdorff 维数为： 1.2618 ln 3 ln 4 ln(1/ ) ln ( ) lim 0 0 = = = → r N r D r （3.12） 显然，L(r)与 N(r)之间的关系为 L(r) = N(r)r （3.13） 海岸线的维数大于它的拓扑维 1 而小于它所在的空间维 2。长度 L(r)随测量尺度 r 的变小 而变长，在 r→0 时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度复杂性有所增加时，海岸线 的分维也会相对地增加。 Cantor 集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合，拓扑维数为 d=0。构造方法是把(0 , 1)区间上的线段分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉中段，如此自相似变换 无穷次，最后剩下的就是无穷稀疏又无穷多点的集合。用尺度为 r=(1/3)n 的小盒子覆盖，小 盒子数为 N(r)=2n，其 Hausdorff 维数是 0.63093 ln 3 ln 2 ln(1/ ) ln ( ) 0 = = r N r D （3.14） 三、信息维数 如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第 i 个小盒子的概率为 Pi，那么用 尺度为 r 的小盒子所测算的平均信息量为： = = − ( ) 1 ln N r i Pi Pi I （3.15） 若用信息量 I 取代小盒子数 N(r)的对数就可以得到信息维 D1 的定义： ln(1/ ) ln lim ( ) 1 0 1 r P P D N r i i i r = → − = （3.16） 如果把信息维看作 Hausdorff 维数的一种推广，那么 Hausdorff 维数应该看作一种特殊情
形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形,可以假设分形中的部分落入每个小 盒子的概率相同, n=m-少z P (3.17) In N (3.18) r0 In(1/r) r0 In(1/r) 可见,在均匀分布的情况下,信息维数D1和 Hausdorff'维数D相等。在非均匀情形, D1<D0 四、关联维数 空间的概念早已突破3维空间的限制,如相空间,系统有多少个状态变量,它的相空间 就有多少维,甚至是无穷维。相空间突出的优点是可以通过它来观察系统演化的全过程及其 最后的归宿。对于耗散系统,相空间要发生收缩,也就是说系统演化的结局最终要归结到子 空间上,这个子空间的维数即关联维数。 分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变 量共同作用而产生。为了重构一个等价的状态空间,只要考虑其中的一个状态变量的时间演 化序列,然后按某种方法就可以构建新维。如果有一等间隔的时间序列为{x,x2,x3,… },就可以用这些数据支起一个m维子相空间。方法是:首先取前m个数据 xm,由它们在m维空间中确定出第一个点,把它记作X1。然后去掉x1,再依次取m个数据 xm艹1,由这组数据在m维空间中构成第二个点,记为X2。这样,依此可以构造 系列相点 X X (x2,x3 把相点X1,Ⅹ2 依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近 相互关联的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成N个相点X1,Ⅹ2,…,XN,给定 个数r,检查有多少点对(X,X)之间的距离-X小于r,把距离小于r的点对数占总点对 数N2的比例记作C(r),则有: =∑0(r-|x,-X|) (3.20) 其中,B(功)≈J1,x0为 Heaviside阶跃函数。 0 若r取得太大,所有点对的距离都不会超过它,C(r)=1,lnC(r)=0。测量不出相点之间的
63 形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小 盒子的概率相同，即 N Pi 1 = （3.17） ln(1/ ) ln lim ln(1/ ) 1 ln 1 lim 0 1 0 1 r N r N N D r N i r → = → = − = （3.18） 可见，在均匀分布的情况下，信息维数 D1 和 Hausdorff 维数 D0 相等。在非均匀情形， D1<D0。 四、关联维数 空间的概念早已突破 3 维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态变量，它的相空间 就有多少维，甚至是无穷维。相空间突出的优点是可以通过它来观察系统演化的全过程及其 最后的归宿。对于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终要归结到子 空间上，这个子空间的维数即关联维数。 分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变 量共同作用而产生。为了重构一个等价的状态空间，只要考虑其中的一个状态变量的时间演 化序列，然后按某种方法就可以构建新维。如果有一等间隔的时间序列为{x1，x2，x3，…， xi，…}，就可以用这些数据支起一个 m 维子相空间。方法是：首先取前 m 个数据 x1，x2，…， xm，由它们在 m 维空间中确定出第一个点，把它记作 X1。然后去掉 x1，再依次取 m 个数据 x2，x3，…，xm+1，由这组数据在 m 维空间中构成第二个点，记为 X2。这样，依此可以构造 一系列相点 + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 5 3 3 3 4 2 2 2 3 1 1 1 2 m m m m X x x x X x x x X x x x X x x x ： ， ， ， ： ， ， ， ： ， ， ， ： ， ， ， （3.19） 把相点 X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近， 相互关联的程度越高。设由时间序列在 m 维相空间共生成 N 个相点 X1，X2，…，XN，给定 一个数 r，检查有多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于 r，把距离小于 r 的点对数占总点对 数 N2 的比例记作 C(r)，则有： = = − − N i j i j Xi X j r N C r , 1 2 ( ) 1 ( ) （3.20） 其中， = 0 0 1 0 ( ) x x x ， ， 为 Heaviside 阶跃函数。 若 r 取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的
关联。适当缩小测量尺度r,可能在r的一段区间内有C(r)∝r0,如果这个关系存在,D就 是一种维数,把它称为关联维数,用D2表示,即有 D=lim (3.21) 五、变维分形 通常情况下,若分形维数D为常数,不随特征线度r变化而变化,则这种分形称为常维分 形:若分形维数D与特征线度r呈现函数关系,则称之为变维分形,表达式如下 D=F() 自然界中严格满足常维分形形式的现象是不存在的,大量的复杂现象用常维分形无法表 达。付昱华经过多年的研究提出变维分形的概念来定量揭示客体的分形特征,很好地解决了 分形维数D在双对数坐标下分形的非直线问题。它是将原始数据对序列经过1阶、2阶或者更 多的阶数累计和,然后建立各阶累计和的分段分维模型,最后选择拟合效果最好的分维值作 为其常维分形参数。累积和的系列变换过程如下: (1)若原始数据点对为(N,r),则有基本序列: (323) 根据基本序列构造,进行一次累积和得到序列Sl,即: S1}=S51,S12…Sn}={1,N+N2,M2+N2+N3}(3.24) 其中,Sl/=N,Sl2=N+N2,Sln=N+N2+…Nn,P=1,2,…n (2)以此类推,重复上一步,可得二阶、三阶、、n阶累计和序列S2、S3、…、Sn, 即 S2}={S1,S1+12,S1+S2+S13… S3}={S2,S21+S2,S2+S2+S23 Sn}={S(n-1),S(n-1)+S(n-1)2S(n-12+S(n-12+S(n-1)2… (3)将数据点对(Sm,r)标注于双对数坐标,选择拟合效果良好的变换,计算其常分维 数。 累积和阶数越高,表明其变维分形特征越复杂,敏感度越低:相同累积和阶数下分维值 越大,表明相应因子影响程度越强
64 关联。适当缩小测量尺度 r，可能在 r 的一段区间内有 D C(r) r ，如果这个关系存在，D 就 是一种维数，把它称为关联维数，用 D2 表示，即有： r C r D r ln ln ( ) lim 0 2 → = （3.21） 五、变维分形 通常情况下，若分形维数D为常数，不随特征线度r变化而变化，则这种分形称为常维分 形；若分形维数D与特征线度r呈现函数关系，则称之为变维分形，表达式如下: D = F(r) （3.22） 自然界中严格满足常维分形形式的现象是不存在的，大量的复杂现象用常维分形无法表 达。付昱华经过多年的研究提出变维分形的概念来定量揭示客体的分形特征，很好地解决了 分形维数D在双对数坐标下分形的非直线问题。它是将原始数据对序列经过1 阶、2阶或者更 多的阶数累计和，然后建立各阶累计和的分段分维模型，最后选择拟合效果最好的分维值作 为其常维分形参数。累积和的系列变换过程如下： （1）若原始数据点对为(Ni，ri)，则有基本序列： Ni= N1 ,N2 ,N3 , （3.23） 根据基本序列构造，进行一次累积和得到序列S1，即： S1i= S11 ,S12 , S1n= N1 ,N1 + N2 ,N1 + N2 + N3 , （3.24） 其中，S11=N1，S12=N1+N2，S1n=N1+N2+…Nn，i=1，2,…n。 （2）以此类推，重复上一步，可得二阶、三阶、…、n阶累计和序列S2、S3、…、Sn， 即： ( 1) , ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) ( 1) , 3 2 , 2 2 , 2 2 2 , 2 1 , 1 1 , 1 1 1 , 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 = − − + − − + − + − = + + + = + + + Sn S n S n S n S n S n S n S S S S S S S S S S S S S S i i i （3.25） （3）将数据点对(Sni，ri)标注于双对数坐标，选择拟合效果良好的变换，计算其常分维 数。 累积和阶数越高，表明其变维分形特征越复杂，敏感度越低；相同累积和阶数下分维值 越大，表明相应因子影响程度越强