原因在于边界线是一个复杂的曲线,所用的测量尺度越小,测量的长度越大。当你用 把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时,对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线,只能用 直线来近似。因此,测得的长度是不精确的:如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处,就 会发现,这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子,你发 现的细小曲线就越多,你测得的曲线长度也就越大;如果尺子小到无限,测得的长度也是无 海岸线有多长?按照传统的科学方法来考虑,这是一个及其简单的问题,然而曼德勃罗 教授在其名为《英国海岸线有多长?》的文章中做出了令人惊诧的答案:“英国海岸线的长 度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。” 以lkm为单位测量海岸线,得到的近似长度将短于Ikm的迂回曲折都忽略掉了,若以 lm为单位测量,则能测出被忽略掉的迂回曲折,长度将变大,测量单位进一步变小,测得 的长度将愈来愈大,这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值,这个极限值就是海岸线的长 度。 问题似乎解决了,但 Mandelbrot发现:当测量单位变小时,所得的长度是无限增大的。 他认为海岸线的长度是不确定的,或者说,在一定意义上海岸线是无限长的。为什么? 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。此时,长度也许已不能正确概括海岸线这 类不规则图形的特征。 特征尺度是指某一事物在空间,或时间方面具有特定的数量级,而特定的量级就要用恰 当的尺子去量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度,分形的一个突出特点是无特 征尺度。在无特征尺度区,用来表征的特征量是分形维数 分形的地理学意义:关注不能用通常测度(长度、面积、体积)来表示或描述的非规则 几何体性质:分形与分维更适于描述大自然中真实、复杂地理对象用更贴近自然的语言来描 绘地理世界,来真实、全面刻画大自然几何复杂性,并逐渐建立数学语言与现实地理世界之 间的深刻联系。 Mandelbrot指出:“自然给数学家们开了一个大玩笑。19世纪数 学家未曾想到的自然界并非不存在。数学家们为砸乱19世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造 出来的那些病态结构,原来正是他们周围熟视无睹的东西”。 分形地理研究现状:分形地学研究还处于发展阶段,地理现象分形性质的揭示、分维测 算仍是当前“分形地学”的主要任务:大多研究只关注单一尺度下地理对象的分形特征,多尺 度下的多分形特征研究尚未充分开展;集中在对地理对象几何性质的关注,对于分形丰富的 地学、生态学等内涵仍待发掘:虽是当代非线性科学的重要分支之一,但是同传统数学比较 而言,还有许多待完善的地方,仍在引起争论。 分形启示:点、线、面等空间地理信息可以构建分形模型,在地理创新研究过程中值得 关注:空间地理信息的分形模型表明:复杂地理信息中客观存在幂律关系;由此揭示出:表 面复杂的地理现象可能有着十分简单的内在机制。 分形有用还是没用:加拿大学者Kaye指出:“有时,人们会发现把系统传统的描述转换 成分形描述并没有本质上的优越性。不过,在这种情况下,探索用另一种方式描述某一体系 所引发的智力上的促进也是极为宝贵的经历,即使最终证明分形几何对于描述这一体系并没 有太大的助益。抛开其他暂且不谈,,从分形的角度去看待问题是充满乐趣的。” 为什么要研究分形?
55 原因在于边界线是一个复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度越大。当你用一 把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用 直线来近似。因此，测得的长度是不精确的；如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就 会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发 现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大；如果尺子小到无限，测得的长度也是无 限。 海岸线有多长？按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简单的问题，然而曼德勃罗 教授在其名为《英国海岸线有多长？》的文章中做出了令人惊诧的答案： “英国海岸线的长 度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。” 以 1km 为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于 1km 的迂回曲折都忽略掉了，若以 1m 为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得 的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长 度。 问题似乎解决了，但 Mandelbrot 发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。 他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？ 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸线这 类不规则图形的特征 。 特征尺度是指某一事物在空间，或时间方面具有特定的数量级，而特定的量级就要用恰 当的尺子去量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度，分形的一个突出特点是无特 征尺度。在无特征尺度区，用来表征的特征量是分形维数。 分形的地理学意义：关注不能用通常测度（长度、面积、体积）来表示或描述的非规则 几何体性质；分形与分维更适于描述大自然中真实、复杂地理对象;用更贴近自然的语言来描 绘地理世界，来真实、全面刻画大自然几何复杂性，并逐渐建立数学语言与现实地理世界之 间的深刻联系。 Mandelbrot 指出：“……大自然给数学家们开了一个大玩笑。19 世纪数 学家未曾想到的自然界并非不存在。数学家们为砸乱 19 世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造 出来的那些病态结构，原来正是他们周围熟视无睹的东西”。 分形地理研究现状：分形地学研究还处于发展阶段，地理现象分形性质的揭示、分维测 算仍是当前“分形地学”的主要任务；大多研究只关注单一尺度下地理对象的分形特征，多尺 度下的多分形特征研究尚未充分开展；集中在对地理对象几何性质的关注，对于分形丰富的 地学、生态学等内涵仍待发掘；虽是当代非线性科学的重要分支之一，但是同传统数学比较 而言，还有许多待完善的地方，仍在引起争论。 分形启示：点、线、面等空间地理信息可以构建分形模型，在地理创新研究过程中值得 关注；空间地理信息的分形模型表明：复杂地理信息中客观存在幂律关系；由此揭示出：表 面复杂的地理现象可能有着十分简单的内在机制。 分形有用还是没用：加拿大学者 Kaye 指出：“有时，人们会发现把系统传统的描述转换 成分形描述并没有本质上的优越性。不过，在这种情况下，探索用另一种方式描述某一体系 所引发的智力上的促进也是极为宝贵的经历，即使最终证明分形几何对于描述这一体系并没 有太大的助益。抛开其他暂且不谈，……，从分形的角度去看待问题是充满乐趣的。” 2、为什么要研究分形？
首先,分形形态是自然界普遍存在的,研究分形,是探讨自然界的复杂事物的客观规律 及其内在联系的需要,分形提供了新的概念和方法 其次,分形具有广阔的应用前景,在分形的发展过程中,许多传统的科学难题,由于分 形的引入而取得显著进展。 分形作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分 形热”经久不息。 分形的功能:1.事物的外形,存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类 似:2事物的发展,也可以从局部的发展,看出事物整体发展的状况:3.事物的功能,事物 局部的功能,也存在着与整体功能相似的情况 二、典型分形图形 1、科赫曲线 (1)科赫曲线的构造 设E是单位长直线段:E1是由E除去中间1/3的线段、而代之以底边在被除去的线段 上的等边三角形的另外两条边所得到图形,它包含四个线段;对E1的每个线段都进行同一过 程来构造E2,依此类推,于是得到一个曲线序列{Ek}:其中Ek是把Ek的每一个直线段中间 1/3用等边三角形的另外两边取代而得到的;当k充分大时,曲线Ek和Ek1只在精细的细 节上不同;而当k→∞时,曲线序列仼}趋于一个极限曲线F,称F为冯科赫曲线
56 首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律 及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。 其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分 形的引入而取得显著进展。 分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80 年代初国外开始的“分 形热”经久不息。 分形的功能：1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类 似；2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况；3.事物的功能，事物 局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况 二、典型分形图形 1、科赫曲线 （1）科赫曲线的构造 设 E0 是单位长直线段；E1 是由 E0 除去中间 1／3 的线段、而代之以底边在被除去的线段 上的等边三角形的另外两条边所得到图形，它包含四个线段；对 E1 的每个线段都进行同一过 程来构造 E2，依此类推，于是得到一个曲线序列{Ek}；其中 Ek 是把 Ek-1 的每一个直线段中间 1／3 用等边三角形的另外两边取代而得到的；当 k 充分大时，曲线 E k 和 E k-1 只在精细的细 节上不同；而当 k→∞时，曲线序列{E k}趋于一个极限曲线 F，称 F 为冯.科赫曲线。 E 0 E 1 E 2
n 图31科赫曲线及构造过程 % matlab plot函数绘制koch曲线程序,程序还是比较简单的,这里只绘制出了雪花的三分之一 function koch curve(number)% number代表koch的阶数,范围为大于等于2 set(gef; position,0.,1920,1080],%设置窗口分辨率,[0,0]和[1920,1080分别为窗口左上角和右下角坐标 可根据自己的屏幕分辨率调整,注释掉这句则使用 matlab默认窗口分辨率 kochI=[0,0,1,0] fo kocha=zeros(4n-3, 2); koch2(k, F[(kochi(j-1, 1)2+kochI (, 1)/3, (kochi(j-1, 2)2+koch10, 2))/3 koch2(k+1, FI(kochi(j-1, 1)+kochi(, 1)+sqrt(3)*(kochi(j-1, 2)-koch10, 2))/3)2, (kochi(j-1, 2)+koch10, 2)-sqrt(3)*( kochi(j-1, 1)-kochI(, 1))/3)21 chl(,1)*2+ kochI(-1,1)3,( kochI(,2)*2+ kochI(-1,2)y3 k=k+4; kocha(, 1) koch 1=koch
57 图 3.1 科赫曲线及构造过程 %matlab plot 函数绘制 koch 曲线程序，程序还是比较简单的，这里只绘制出了雪花的三分之一 function koch_curve(number)%number 代表 koch 的阶数，范围为大于等于 2。 figure set(gcf,'position',[0,0,1920,1080]);%设置窗口分辨率，[0,0]和[1920,1080]分别为窗口左上角和右下角坐标 可根据自己的屏幕分辨率调整，注释掉这句则使用 matlab 默认窗口分辨率 n=2; koch1=[0,0;1,0]; for i=1:number koch2=zeros(4*n-3,2); k=2; for j=2:n koch2(k,:)=[(koch1(j-1,1)*2+koch1(j,1))/3,(koch1(j-1,2)*2+koch1(j,2))/3]; koch2(k+1,:)=[(koch1(j-1,1)+koch1(j,1)+sqrt(3)*(koch1(j-1,2)-koch1(j,2))/3)/2,(koch1(j-1,2)+koch1(j,2)-sqrt(3)*( koch1(j-1,1)-koch1(j,1))/3)/2]; koch2(k+2,:)=[(koch1(j,1)*2+koch1(j-1,1))/3,(koch1(j,2)*2+koch1(j-1,2))/3]; koch2(k+3,:)=koch1(j,:); k=k+4; end n=4*n-3; x=koch2(:,1); y=koch2(:,2); plot(x,y) axis equal koch1=koch2; pause(1);
(2)科赫曲线特性 科赫曲线F是自相似的,四个部分与整体的相似比例为14:F具有精细结构,即在任意 小的比例尺度内包含整体;F是不规则的,不能用传统的几何语言来描述;F的长度为∞,而 面积为0 事实上,对于每个k,Ek的长度为 E)=3 (3.1) l(F)=liml(E)=lim|=∞ %maab绘制皮亚诺曲线 function peano curve(n) peano_old=00,0,10.5,10.50,1,0,1,1 x= peano_old(∴1) y=peano old(: 2); plot(x,y) axis equal pl=peano old(:, 1), 2+1/(3i-1 )-peano old(: 2); Ipl(:,1)4+33~-1)pl(,2) eano new=peano old; pl: p2: pI=2+1/(3 1-1)peano new( 1 ) peano new(: 2): p2=4+3/3~1-1}pl(,1)pl(:2) peano new=peano new,pl; p21 eano old=peano new/(3+2/(3 i-D)): x=peano old(, 1) y=peano_old(:, 2);
58 end end （2）科赫曲线特性 科赫曲线 F 是自相似的，四个部分与整体的相似比例为 1/4；F 具有精细结构，即在任意 小的比例尺度内包含整体；F 是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；F 的长度为∞，而 面积为 0； 事实上，对于每个 k，E k 的长度为 = = = = → → k k k k k k l F l E l E 3 4 ( ) lim ( ) lim 3 4 ( ) （3.1） %matlab 绘制皮亚诺曲线 function peano_curve(n) peano_old=[0,0;0,1;0.5,1;0.5,0;1,0;1,1]; x=peano_old(:,1); y=peano_old(:,2); figure set(gcf,'position',[0,0,1920,1080]); plot(x,y) axis equal for i=1:5 p1=[peano_old(:,1),2+1/(3^i-1)-peano_old(:,2)]; p1=p1(length(p1):-1:1,:); p2=[p1(:,1),4+3/(3^i-1)-p1(:,2)]; p2=p2(length(p2):-1:1,:); peano_new=[peano_old;p1;p2]; p1=[2+1/(3^i-1)-peano_new(:,1),peano_new(:,2)]; p1=p1(length(p1):-1:1,:); p2=[4+3/(3^i-1)-p1(:,1),p1(:,2)]; p2=p2(length(p2):-1:1,:); peano_new=[peano_new;p1;p2]; peano_old=peano_new/(3+2/(3^i-1)); x=peano_old(:,1); y=peano_old(:,2); plot(x,y) axis equal pause(1) end
2、康托尔集( Cantor) (1)康托尔集的构造 设E0是单位长直线段,E1是由Eo除去中间1/3的线段所得到图形。对E1的每个线段都 进行同一过程来构造E2,依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek},其中Ek是把Ek1的每一个 直线段中间1/3除去而得到的:当k充分大时,曲线Ek和Ek1只在精细的细节上不同,当k→∞ 时,曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线F,称F为康托尔三分集。 fl ni n H 图32康托尔三分集图 %康托尔三分集 function myfun50 new=[0,1 n= input(请输入迭代次数n:") new=[I/3.new,2/3+1/3.new] line(new(), new(j+D)][0,OD (2)康托尔集的特性 康托尔集曲线F是自相似的,两个部分与整体的相似比例为1/3:F具有精细结构,即在 任意小的比例尺度内包含整体;F是不规则的,不能用传统的几何语言来描述;F中点的数 目为∞,而长度为0 事实上,对于每个k,Ek的长度为
59 end 2、康托尔集（Cantor） （1）康托尔集的构造 设 E0 是单位长直线段，E1 是由 E0 除去中间 1/3 的线段所得到图形。对 E1 的每个线段都 进行同一过程来构造 E2，依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek}，其中 Ek 是把 Ek-1 的每一个 直线段中间 1/3 除去而得到的；当 k 充分大时，曲线 Ek 和 Ek-1 只在精细的细节上不同，当 k→∞ 时，曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线 F，称 F 为康托尔三分集。 图 3.2 康托尔三分集图 %康托尔三分集 function myfun5() new=[0,1]; n=input(' 请输入迭代次数 n:'); for j=1:n new=[1/3.*new,2/3+1/3.*new]; end for jj=1:2:2.^(n+1)-1 line([new(jj),new(jj+1)],[0,0]) end （2）康托尔集的特性 康托尔集曲线 F 是自相似的，两个部分与整体的相似比例为 1/3；F 具有精细结构，即在 任意小的比例尺度内包含整体；F 是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；F 中点的数 目为∞，而长度为 0； 事实上，对于每个 k，E k 的长度为