环的远约定 口加法的单位元记作0。 口乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 口对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作x 口若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x1。 口针对环中的加法, xy表示x+(-y)。 nx表示xx+,…+x(n个x相加),即x的n次加法幂。 x表示x的负元
环的运算约定 ❑ 加法的单位元记作0。 ❑ 乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 ❑ 对任何环中的元素x，称x的加法逆元为负元，记作-x。 ❑ 若x存在乘法逆元的话，则将它称为逆元，记作x -1 。 ❑ 针对环中的加法， – x-y表示x+(-y)。 – nx表示x+x++x(n个x相加)，即x的n次加法幂。 –-xy表示xy的负元
环的远算性质 定理12.1设<R,+,>是环,则 (1)Va∈R,a0=0m=0 (2) Va, bER, (ab=ab=-ab (3) Va, b, ceR, a(b-c=ab-ac, (b-ca=ba-ca (4)Va1,a2,,an,b1b2,,bn∈R(n,m≥2) ∑a)∑b)=∑∑
环的运算性质 定理12.1 设<R,+,·>是环，则 (1) a∈R，a0＝0a＝0 (2) a,b∈R，(-a)b＝a(-b)＝-ab (3) a,b,c∈R，a(b-c)＝ab-ac，(b-c)a＝ba-ca (4) a1 ,a2 ,...,an,b1 ,b2 ,...,bm∈R(n,m≥2) j n i m j i m j j n i ai b a b = = = = = 1 1 1 1 ( )( )
定理121的证明 (1)Va∈R,a0=0a=0 a0=a(0+0)=a0+a0 由环中加法的消去律得a0=0。 同理可证0a=0。 (2) Va, bER, (0 b=ab=-ab (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0 ab+(-a)b=(a+(-a)b=0b=0 因此(-a)b是ab的负元。 由负元的唯一性可知(-a)b=-mb。 同理可证a(-b)=-mb。 (3)Va, b, cER, a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca a(b-c =a(b+(c)=abta (c) =ab-ac
定理12.1的证明 (1) a∈R，a0＝0a＝0 a0 ＝ a(0+0) ＝ a0+a0 由环中加法的消去律得 a0＝0。 同理可证 0a＝0。 (2) a,b∈R，(-a)b＝a(-b)＝-ab (-a)b+ab ＝ (-a+a)b ＝ 0b ab+(-a)b ＝ (a+(-a))b ＝ 0b ＝ 0 因此(-a)b是ab的负元。 由负元的唯一性可知 (-a)b＝-ab。 同理可证 a(-b)＝-ab。 ＝ 0 (3) a,b,c∈R，a(b-c)＝ab-ac，(b-c)a＝ba-ca a(b-c) ＝a(b+(-c))＝ab+a (-c) ＝ab- ac
定理12.1(4)的证明 (4)Va1,a2…,an,b1b2,…,bm∈R(n,m≥2) Ca)∑b)=∑∑ab 先证明a1,a 有C∑a)b=∑a 对m进行归纳。 当n=2时,由环中乘法对加法的分配律,等式显然成立。 假设②4,)=∑ab,则有 n+1 )b,=a,)b, 由归纳法命题得证
定理12.1(4)的证明 j n i j i n i ai b a b = = = 1 1 ( ) (4) a1 ,a2 ,...,an,b1 ,b2 ,...,bm∈R(n,m≥2) 先证明 a1 ,a2 ,...,an 有 对n进行归纳。 当n＝2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。 假设 j n i j i n i ai b a b = = = 1 1 ( ) ，则有 j n i ( ai )b 1 1 + = j n i ( ai an )b 1 1 = = + + = = + + n i ai bj an bj 1 1 ( ) = = + + n i ai bj an bj 1 1 + = = 1 1 n i ai bj 由归纳法命题得证。 j n i m j i m j j n i ai b a b = = = = = 1 1 1 1 ( )( )
定理12.1(4)的证明 同理可证,Vb1,b2,bm有 b)=∑ 于是 ∑a∑b)=∑aC∑b)=∑∑ab
定理12.1(4)的证明 同理可证，b1 ,b2 ,...,bm 有 于是 j m j i m j ai bj a b = = = 1 1 ( ) ( )( ) 1 1 = = m j j n i ai b ( ) 1 1 = = = m j j n i ai b j n i m j ai b = = = 1 1