VHw,singWG=三WieOEHsint方向自○指向，即有w-上述分析说明，当自由陀螺的角动量与地球自转角速度间的夹角≠0时，地球上的观察者所看到的陀螺自转轴以一：为角速度作旋转，旋转所形成的曲面为一圆锥面，对称轴平行于地轴，半锥角为9，陀螺的这种运动称为表观运动。2.进动性当M十0时，根据动量矩定理dHMdtdH其中，是角动量H的矢端.E的速度，2dt即VMMu上式说明角动量的矢端速度大小等于M-|MI，方向平行于M。由于有矢端速度存在，所以H绕支点O旋转，转子绕O点作旋转运动，即陀螺发生进动。设陀螺的进动角速度为，由图2.2.3IVI-Ma-HH图2.2.3陀螺的进动和陀螺力矩由于是由矢端以速度V运动引起的，垂直H和V所在的平面，所以位于XM的方向上，该方向上的单位量为H X MuHXMi因此MHXMHXMw=lwluHHMsing0°H?上式两边叉乘H，得(HXM)XHWXH=H2根据三重矢积公式：(a×h）Xc=（ac）b一（b·c)a有H[(H·H)M - (M.H))wXH-H(H"cos0'M - MHcos90℃H) = M(2. 2. 1)-19.PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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式(2.2.1)即为陀螺的进动方程。该式说明，当双自由度陀螺在某一环架轴上有作用力矩M时，陀螺绕另一环架轴以@做进动运动：角动量班以最短路径倒向外力矩M，由此确定进动角速度的方向；进动角速度的大小由下式确定：1/-M(2.2.2)H式（2.2.1）还说明，一旦存在外力矩，就马上出现进动角速度，所以陀螺进动是一种无惯性运动。3.陀螺力矩在陀螺的进动方程式（2.2.1)中，M是外部施力者（内环）加到陀螺转子上去的，根据牛顿第三定律描述的作用和反作用关系，转子一定会对该施力者作用有反作用力矩Mc，该反作用力矩与M大小相等方向相反，即Mc=-MMc即为陀螺力矩。由于转子支承在内环中，所以陀螺力矩Mc由转子作用在内环上，M和M作用在两个不同的对象上，不能互相抵消。由式（2.2.1），陀螺力矩的计算公式为MG-HXW(2. 2. 3)式中，H和分别是转子的角动量和角速度。2.2.2双自由度陀坏仪的动力学分析取O-v&为测量坐标系，该坐标系与陀螺壳体固连，当陀螺无输出角时，陀螺的外环轴A，内环轴B及转子自转轴S分别与轴、y轴及轴重合.为便于讨论，定义转子坐标系（莱查坐标系)O-riyz为：Oz，轴沿转子的自转轴.Ori和Oy轴位于转子的赤道平面内，当输出角α=0，β=0时，Ozi轴与Or轴重合，Oyi轴与Oy轴重合，Oz1轴和Oy轴均不参与转子的自转。当陀螺输出角α0，β0时，O-zy经两次基本旋转得O-r1y12（参阅图2.2.4)绕Ox轴绕0y1轴，0-1y121O-ryz0-ryiz颜转α旋转：下面用动静法列写出陀螺的进动方程。设转子的角动量为H，陀螺内环组件（包括转子和内环框架）绕内环轴的转动惯量为1，陀螺外环组件（包括内环组件和外环框架）绕外环轴的转动惯量为1，在内外环轴上分别作用有外力矩M,和M基座具有的角速度在O-rye坐标系内的分量为wxw，、Wz，如图2.2.4所示。根据动静法，各环架轴上的力矩相平衡，得方程：M,-I(α+)-Hp-Hu,-Hcosβusina=0M,+Ha+Har-I(p+)Hwicosasinp-0.20.PDF文件使用“pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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0X(B)ax(A)&ai0di.图2.2.4双自由度陀螺仪的技术方程模型由于工程应用中陀螺正常工作时的输出角α和β都很小，所以上述方程可近似为Ia+Hp+Hua=M-l,-Hwy(2.2.4a)Ip-Ha+Hap-M-Iay+Hur(2.2.4b)式（2.2.4)是在近似条件下推得的，习惯上称之为陀螺的技术方程。该式说明，影响陀螺输出角α和β的因素有外力矩和基座角运动。由于技术方程是一组线性方程，具有线性系统的可加性，所以可以分别单独考虑基座角速度和外力矩的影响，此处仅考虑外力矩的影响；Ia+HB=M.(2.2.5a)IB-H&=My(2.2.5b)对式（2.2.5)作拉氏变换，并假设在外力矩作用之前，陀螺输出角的初始条件为0,即α(0)=β(0)=α(0)=B(0)=0,则Isα(s)+IIsB(s)=Mg(s)(2.2.6a)I,s"p(s)-Hsa(s) 二M,(s)(2. 2. 6b)根据式（2.2.6)可得陀螺的方块图，如图2.2.5所示。根据图2.2.5，可得出各变量间的传递函数：I,α(s)(2.2.7a)M.(s)1s2+H2?21 :PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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a(s)M(s)1HsHsp(s)M(s)Ls图2.2.5双自由度陀螺仪的等效方块图1lxsHα(s)H1(2.2.7b)H++HM,(s)s(II,s* + H2)1lysHB(s)1H(2.2.7c)M.(s)s(II,s2+ H2)SHI.1,s2+H21e(s)(2. 2.7d)s2+H2M,(s)系统的特征方程为I,s2 + I1=0可见双自由度陀螺仪是一个二阶系统，系统的阻尼系数和自振频率为5=0HCVI,在具体设计中，陀螺的内、外环框架都设计得比较轻巧，所以1和1，近似等于转子的赤道转动惯量1。且转子的极转动慨量I，设计得约为I。的2倍，所以陀螺自振频率的估算值为21.0WnA202Ni.le其中，0为转子的自转角速度从式（2.2.7a）和式(2.2.7d)可看出，作用在某一轴上的外力矩只引起陀螺绕该轴的无阻尼振荡，振荡频率为自转角速度的2倍。从式（2.2.7b）和式（2.2.7c）可看出，作用在某一轴上的外力矩引起陀螺绕另一轴的运动有两种，具体为第一种运动：无阻尼振荡，振荡角频率也是转子自转角速度的2倍。第二种运动：a(s)1Bs)1M,(s)SH'M.(s)SH·22*PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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即M,(s)M.(s)sp(s) =sa(s):HH若外力矩M，和M，为常值，则输出角速度为Ma(t)二(2.2.8a)HM.β(t) =(2.2.8b)H(t)和β(1)是陀螺绕外环轴和内环轴的进动角速度，式（2.2.8)是式（2.2.1)的分量表达式。频率为2倍自转角速度的无阻尼振荡是双自由度陀螺仪的章动。章动对陀螺仪的测量精度是不利的，但它是固有的。由于章动是一种高频微幅振荡，所以只要陀螺的角动量足够大，其对测量精度的影响是可以忽略不计的。但在设计中应注意避免共振，环境振动角频率不能是转子自转角速度的偶数倍。2.2.3双自由度角位置陀螺的传递函数当双自由度陀螺仪用于控制被稳定对象时，陀螺的信号器输出用来控制被稳定对象的相应轴，陀螺是伺服回路中的一个环节，而陀螺本身处在开环状态。若要使被控制对象以要求的角速度旋转，则指令量需加入陀螺相应轴的力矩器中。所以伺服回路中，陀螺被当作角位置陀螺使用。1.对基座角位移的传速函数当基座沿轴和轴有角位移@，和@，时，由于陀螺的定性，陀螺沿外环轴和内环轴的输出角为α=-@β=-Φ,所以陀螺对基座角位移的传递函数为a(s)F-1(2.2.9a)@(s）() =-1(2.2. 9b)@,(s)从式（2.2.9）可得陀螺对基座角速度的传递函数：a(s)1(2.2.10a)w(s)sp(s)1(2.2.10b)u,(s)2.对指令角速度的传递函数若要求被控对象以角速度wend和cmd分别绕轴和轴旋转，则应根据下式·23.PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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