为该质点对该点的动量矩，如图2.1.2所示。即dH-TXVdm其中，是空间点至质点的距离矢量。图2.1.2质点的动量矩如果点0是曲线运动的瞬时中心，则V=wxr其中，是质点作曲线运动引起的距离矢量，的旋转角速度。质点系的动量矩是所有质点动量矩的总和，对分布质量的质点系来说，动量矩为H-r×(a×r)dm对作定点转动的刚体来说，各质点的旋转角速度都相同，所以× (×)dm-X (rXw)dm(2.1.2)H-设刚体绕点○作定点转动，O-y为某一参考坐标系，记作g，并设[H.][2[w]H,H-tayLH,则式（2.1.2)成HL0H0之H31.14PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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020x0x0L+2+2xydn(2.1.3)yz+v2T2y2L-1 z3y-Ix4,其中,[Iay-I yz称为刚体对坐标系的惯性张量，各元定义为-1x1(y2+2)dm11=2(2.1.4a)I,=(c+2)dm(2.1.4b)1,=(+)dm(2.1.4c)I ,=[xydm(2.1.4d)I=I r&dm(2.1.4e)Ix=[.yedm(2.1.4f)I、Il。分别称为刚体对轴、轴、轴的转动惯量，I、Ix、I,称为刚体的惯性积。若刚体为均质体，密度为p，则<ye+)drdydzIx=0(2.1.5a)I,=0(a+)dedydz(2.1.5b)I,p(ra+y)dadyde(2.1.5c)I = pll,rydrdydz(2.1.5d)Ia - ll, redrdydz(2. 1. 5e)Iypllyzdzd yde(2. 1. 5f)如果适当选择坐标系（-工V2后能使惯性积为零，则该坐标系的各轴称为刚体的惯性主轴。对于圆柱体转子，转子的自转轴和赤道平面内与自转轴相交的所有轴都是惯性主轴。沿自转轴的转动惯量称为极转动惯量，沿赤道轴的转动惯量称为赤道转动惯量。15PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn
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在转子陀螺的讨论中，常将转子具有的动量矩称为角动量。从式（2.1.2)可看出角动量的量纲为［质量］·［长度］”［【角动量］一(2.1.6)[时间]对于小型陀螺面言，常用单位是克·厘米?/秒或达因①·厘米·秒和克力·厘米·秒。1克力·厘米·秒=980达因·厘米·秒980克·厘米2/秒例2.1设转子的极转动惯量1=398克·厘米2，转子的转速为n=24000转/分钟，求转子的角动量。=2元×24000=2513.27弧度/秒解转子的自转角速度为W一2元6060角动量的大小为H=1.w=398×2513.27=10°克·厘米2/秒=1020克力·厘米·秒方向沿转子自转角速度方向。例2.2如图2.1.3，求实心圆柱转子及空心圆柱转子的极转动惯量，其中实心转子的外径为2R，空心转子的外径为2R，内径为2r，高度都为h，密度都为。图2.1.3实心圆柱转子的积分徽元解，在实心转了中取高度为h的微环为积分微元，该微环的内半径为入，环壁厚为d，则由式（2.1.4c），dm=2xAdahp=2xhpAda1=2hpd=phR对于空心转子"x2mhd=oh(R4-r)）1达因(dyn）=10-N。16.PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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定点转动质点系的动量矩定理描述为dH(2.1.7)Mdt式中，H为定点转动质点系对该定点的角动量总和，M为作用在该质点系上对该dH定点的合外力矩，表示在惯性坐标系内观察到的时间变化率。此处应注意质dt点系可理解成多个刚体联结在一起的联结组合体。2.2双自由度陀螺仪2.2.1定轴性、进动性和陀螺力矩工程上，为了使陀螺转子获得三个所需要的角转动自由度，典型的办法是将陀螺转子支承在由内、外平衡环构成的卡登万向环架中，设计中确保转子质心与支承点重合，所以转子可看作定点转动刚体，如图2.2.1所示。图中，S为信号器，用于拾取陀螺输出角，T为力矩器，用于控制转子绕工轴和y轴的旋转。由于转子，内平衡环、外平衡环与安装座各轴之间都是互相垂直的，所以转子可以处于任意空间位置。工作过程中，转子高速自转产生必要的角动量，内、外平衡环轴是其测量轴。z(S)rfAY(B)图2.2.1双自由度陀螺结构示意图为便于分析陀螺运动的基本特性和影响陀螺特性的主要因素，假设陀螺仪制造得十分理想和完美，是一种理想化的陀螺模型，即陀螺符合下列条件：（1）陀螺转子为一理想的轴对称旋转体，在自转过程中，转子的对称轴和自转轴完全重合。（2）转了的自转角速度很高，且保持常值，所形成的自转角动量远大于非自转: 17 .PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn
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角动量。（3）陀螺转子及万向支架结构刚度很大，变形微小得足以忽略不计，并且内、外平衡环的转动惯量与转子相比可忽略不计。（4）陀螺的自转轴，内、外平衡环轴依次严格保持相互垂直，三轴汇交于一点，陀螺内、外环组件的质心与支点重合，所以不会产生重力力矩和惯性力矩。（5）万向支架系统的支撑为理想支撑，不存在摩擦力矩和其他千扰力矩。此时陀螺转子为绕支点作定点转动的刚体，根据动量矩定理dHMdt1.定轴性和表观运动当M=0时，H相对惯性空间保持恒定不变，即转子自转轴指向相对惯性空间恒定不变，这就是陀螺的定轴性。根据哥氏定理dHXHdtit其中，e为与地球固连的地球坐标系。当M=0时dH!HXidt式中，是角动量H的矢端E在地球上观察到的速度V，速度V的方向如图dt2.2.2所示，大小为V=Hw,sind,H=IHI,wie= | w;ela图2.2.2陀螺的表观运动所以矢端E绕O'O轴的旋转角速度大小为.18.PDF文件使用"pdfFactoryPro”试用版本创建www.fineprint.cn
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