[a,+∞)={xa<x} C (∞,b)={xx<b} 0 b (-∞,+∞) 下页
x o a o b x [a,+) ={x a x} (−,b) ={x x b} (− , + ) 下页
域 定义1(邻域的定义)a是一实数,δ>0(读作 delta),称数集 b(a)={x|x-a<8}={x|a-6<x<a+ a+6 有时我们仅仅研究点a附近(不包含a点)的情况,需要使用到所谓去心 邻域的概念 定义2去心邻域的定义)称数集 UB(a)=U(a){a}={c|0<|x-a<8 为点a的去心δ邻域.δ a+s x 下页
邻域 定义 1（邻域的定义） 是一实数, 0(读作 delta),称数集 有时我们仅仅研究点 附近(不包含 点)的情况,需要使用到所谓去心 邻域的概念. 定义 2 去心邻域的定义)称数集 为点 的去心 邻域. a− a a+ x x a− a a+ 下页
有界数集.确界原理: 1.有界数集 定义(上、下有界,有界)设S为实数R上的一个数集,若存在一个数M(L) 使得对一切x∈S都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集 若集合S既有上界又有下界,则称S为有界集。 例如,闭区间、(an,b)(a,b为有限数)、邻域等都是有界数集,集合 E={y=smx,x∈(-∞,+∞)}也是有界数集 无界数集:若对任意M>0,存在x∈S,|x|>M,则称S为无界集。 例如,(-∞,+∞),(-∞,0),(0,+∞),有理数集等都是无界数集, 例1证明集合E={yy=,x∈(0,1是无界数集 下页
二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数 R上的一个数集，若存在一个数 M（ L）, 使得对一切 x S 都有 x M (x L)，则称 S 为有上界(下界)的数集。 若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。 例如，闭区间、( , ) ( , a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = y y = sin x, x( − , + ) 也是有界数集. 无界数集: 若对任意 M 0 ，存在 x S x M , | | ，则称 S 为无界集。 例如，( − , + ) , ( − , 0 ), ( 0 , + )，有理数集等都是无界数集, 例 1 证明集合 = = , ( 0 ,1 ) 1 x x E y y 是无界数集. 下页
证明:对任意M>0,存在x=∈(0,1),y=-∈E,y=M+1>M M+1 由无界集定义,E为无界集。 确界,先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上 界,其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界,记作supS;同样,有下 界数集的最大下界,称为该数集的下确界,记作ntfS。 上确界 上界 M M2 下确界 m2 m1 下界 下页
证明：对任意 M 0 , 存在 1 1 (0,1) , , 1 1 x y E y M M M x = = = + + 由无界集定义，E 为无界集。 确界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上 界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 sup S ；同样，有下 界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 inf S 。 M M1 M2 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 下页
确界的精确定义 定义2设S是R中的一个数集,若数n满足一下两条 (1)对一切x∈S有x≤n,即m是数集S的上界; (2)对任意E>0,存在x0∈S使得x0>m-ε(即n是S的最小上界) 则称数η为数集S的上确界。记作=spS 定义3设S是R中的一个数集,若数ξ满足一下两条: 1)对一切x∈S有x≥ξ,即ξ是数集S的下界 5+E S 2)对任意E>0,存在x∈S使得x<5+E(即ξ是S的最大下界), 则称数ξ为数集S的下确界。记作5=infS 下页
确界的精确定义 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 x S 有 x ，即 是数集 S 的上界； （2） 对任意 0 ，存在 x0 S 使得 − 0 x （即 是 S 的最小上界）， 则称数 为数集 S 的上确界。记作 = sup S 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： 1）对一切 x S 有 x ，即 是数集 S 的下界； 2）对任意 0 ，存在 x0 S 使得 + 0 x （即 是 S 的最大下界）， 则称数 为数集 S 的下确界。记作 = inf S − 0 x 0 x + S 下页