二.绝对值与不等式 a,a≥0 绝对值定义:|a= -a,a<0 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离: a a 绝对值的一些主要性质 1.|a|=|-a20当且仅当a=0时a|=0 2.-a≤a≤d 3.ak<h台-<a<h;a≤h分-h≤a≤h,h>0 ≤a+ 5. abf ab 6 b≠0 下页
二. 绝对值与不等式 绝对值定义： , 0 | | , 0 a a a a a = − 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： -a 0 a 绝对值的一些主要性质 | | | | 0 0 | | 0 - < < ; | | , 0 4 . 5. | | | | | | | | 6. , 0 | | a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b a b a b ab a b a a b b b = − = = − − + = = 1. 当且仅当 时 2 . -| | | | 3. | | 下页
性质4(三角不等式)的证明: 性质4(三角不等式)的证明: 由性质2 a≤a≤a,-|b|≤b≤|b 两式相加 (a+|b)≤a+b≤|a+|b 由性质3上式等价于|ab|sa|+|b 把上式的b换成-b得|a-b|≤a+|b 由此可推出 Lf(x)-AkE A-E<f(x)<A+8 A|=E<|f(x)|<|A|-E 下页
性质4（三角不等式）的证明： 性质 4（三角不等式）的证明： 由性质2 -|a| a |a|, -|b| b |b| 两式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b| 由性质 3 上式等价于 |a+b| |a|+|b| 把上式的 b 换成 -b 得 |a-b| |a|+|b| 由此可推出 − − − − + | | | ( ) | | | | ( ) | ( ) A f x A f x A A f x A 下页
三.几个重要不等式 (1)a2+b2≥2ab ≤1.|sinx|s|x (2)对va1,a2,…,an∈R+,记 a1+a,+…+a M(a1) (算术平均值) (a C (几何平均值) H(a1) 22∑了(湖平均值 有均值不等式:H(a)≤G(a1)≤M(a)等号当且仅当a1=a2=…=an时成立 (3) Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 对x>0,由二项展开式 1+x)”=1+nx+n(n-1) n(n-1)n-2) X+·+x 下页 有:(1+h)”>上式右端任何一二项
三. 几个重要不等式: （1） 2 , 2 2 a + b ab sin x 1. sin x x . （2）对 , , , , 1 2 + a a an R 记 , 1 ( ) 1 1 2 = = + + + = n i i n i a n n a a a M a (算术平均值) ( ) , 1 1 1 2 n n i i n G ai a a an a = = = (几何平均值) . 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 = = = = + + + = n i i n n i i i a n a a a n a n H a (调和平均值) 有均值不等式: ( ) ( ) ( ), H ai G ai M ai 等号当且仅当a1 = a2 = = an 时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 x 0, 由二项展开式 2 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 , 2! 3! n n n n n n n x nx x x x − − − + = + + + + + 有: (1 )n + h 上式右端任何一项. 下页
2数集。确界原理 区间与邻域: 区间: {xa<x<b}称为开区间,记作(a,b) {x≤x≤b}称为闭区间,记作[a,b 下页
a b a b §2 数集. 确界原理 一 区间与邻域: 区间 ： 记作 (a,b) {x a x b} 记作[a,b] 称为开区间, 称为闭区间, { x a x b} 下页
{xa≤x<b}称为半开区间,记作[an,b) b {xa<x≤b}称为半开区间,记作(ab1 无限区间 [a,+∞)={xa≤x} 0 下页
a b a b o a {x a x b} 称为半开区间, 记作[a,b) { x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b] 无限区间 [a,+) ={x a x} 下页