·mfx)=mfd)=f0)→a+b=1(1) 又有当x>时，=(@+b=a+ 当x<1时，f(x)=2x 若fx)导函数在定义域内连续， 0-0-地2200-a20月 a+9-2 由(1)(2)联立求解：a=3,b=-2 即当a=3,b=-2时，f(x)有连续可导函数。 9、解：：fx)可导，.nf(x)=f0.m[f-x)+4]=0 ·mf1-x)=f0)=-4 ∴.曲线y=f(x)在(1，-4)处切线方程为：y+4=2(x-1) 即：y-2x+6=0 四、应用 1、解：由已知：Q=800-10p∴.p=80-0.1Q 利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=(80-0.1Q)Q-(5000+20Q)=60Q-0.1Q2-5000 (1)边际利润函数：L'(Q)=60-0.2Q (②)L'(150)=30,L'(400)=-20 意义：当销售量在150时，扩大销售一个单位产品，利润将增加30单位： 当销售量在400时，扩大销售一个单位产品，利润将减少20单位。 2、解：(1)由需求函数Q=100-5印知，Q'(p)=-5<0,从而知需求对价格弹性应为负数 而题设6，>0，表朝反，应理解为-6QP a则海=Q+Pg=Q0+后Q)=Q0-)
lim ( ) lim ( ) (1) 1 1 1 = = + = → − → + f x f x f a b x x （1） 又有当 x 1 时， x b f x ax b x a 2 ( ) = ( + ) = + 当 x 1 时， f (x) = 2x 若 f (x) 导函数在定义域内连续， 则有： 2 ) 2 (1 0) lim 2 2 (1 0) lim ( 1 1 b a x b f x f a x x − = = = + = + = + → − → + 2 2 + = b a （2） 由（1）（2）联立求解： a = 3,b = −2 即当 a = 3,b = −2 时， f (x) 有连续可导函数。 9、解： f (x) 可导， lim ( ) (1) 1 f x f x = → 0 lim x→ [ f (1− x) + 4] = 0 0 lim x→ f (1− x) = f (1) = −4 曲线 y = f (x) 在 (1,−4) 处切线方程为： y + 4 = 2(x −1) 即： y − 2x + 6 = 0 四、应用 1、解：由已知：Q=800-10p p=80-0.1Q 利润函数 L(Q)=R(Q)-C(Q)=(80-0.1Q)Q-(5000+20Q)=60Q-0.1Q 2 -5000 (1) 边际利润函数： L(Q) = 60 − 0.2Q (2) L(150) = 30, L(400) = −20 意义：当销售量在 150 时，扩大销售一个单位产品，利润将增加 30 单位； 当销售量在 400 时，扩大销售一个单位产品，利润将减少 20 单位。 2、解：（1）由需求函数 Q=100-5p 知， Q( p) = −5 0 ，从而知需求对价格弹性应为负数 而题设 Ed 0 ，表明 Ed 应理解为： Q (P) Q P Ed = 故 p p Q Q P Ed − = = 20 （2）则 R=PQ 得 (1 ) (1 ) Q Q Ed Q P Q PQ Q dP dR = + = + = −
由6产202，.得时0 当I0<p20时、6>1.手是g<0 故当10<p<20时，降低价格反而使收益增加。 第四章中值定理与导数的应用答案与提示 一、填空 12:2士2：a=-6- 4、2:5、(（-o,+o):1-ln2:-1n2: 6、x=0,x2=3,x3=5108:0:7、a=1,b=-4:8、y=e 二、选择 1、D、2、B3、D4、D5、A6、D7、B8、C9、B10、C 三、计算 2 默电号 2解威如=细话=马古 -x2 :底妈回 3x2 1-cos2 x .con x 职一学房点 e 6解，原式ee点的 2x “m+:m已=0 原式=e°=1
由 1 20 = − = p p Ed ，得 p=10 当 10 p 20 时， Ed 1 ，于是 0 dp dR 故当 10 p 20 时，降低价格反而使收益增加。 第四章 中值定理与导数的应用答案与提示 一、填空 1、2 ； 2、 2 ； 3、 2 9 , 2 3 a = − b = ； 4、2； 5、(−,+) ；1-ln2 ; -1-ln2； 6、 x1 = 0 ， 3 x2 = ， 5; x3 = 108；0； 7、a = 1,b = −4 ； 8、 2 y = e 二、选择 1、D 、2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、B 8、C 9、B 10、C 三、计算 1、解：原式= 0 lim x→ 3 2 3cos3 1 2 2 = + x x 2、解：原式= 0 lim x→ = − 3 2 arctan x x x 0 lim x→ = − + 2 2 6 1 1 1 x x 0 lim x→ 6 1 6 (1 ) 2 2 2 = − + − x x x 3、解：原式= 0 lim x→ x x x x tan tan 2 − = 0 lim x→ 3 tan x x − x = 0 lim x→ 2 2 3 sec 1 x x − = 0 lim x→ x x x 2 2 2 3 cos 1− cos = 0 lim x→ 6 1 3 2 1 2 2 = x x 4、原式= x→− lim x x 1 arctan 2 + = x→− lim 2 2 1 1 1 x x − + = x→− lim 1 1 2 2 = − + − x x 5、解：原式= 0 lim x→ = + x x e x 1 1 ] (1 ) [ x x x z e ln(1 ) 1 1 lim 0 + − → = 2 0 ln(1 ) lim x x x x e + − → = x x x e 2 1 1 1 lim 0 − + → = 1 2(1 ) 1 lim 0 = − + − x→ x e 6、解：原式= ln(1 ) 1 lim 2 x x x e + →− = x x x e ln(1 ) lim 2 + →− x→− lim x ln(1 x ) 2 + = x→− lim 0 1 1 2 2 = + x x 原式= 1 0 e =
四、应用 1、解：(1)x=-1,x=1,x=3:(2)(-0,-)和(3，+∞)：(3)[-1,3]：(4)8：(5)4： (6)(0,1)和(2，+)：(7)(-0,0)和(1,2)：(8)(0,7)，(1,6)，(2,5) 2、解：(1)税后利润为：L(Q)=QP-3Q-1-aQ 又由Q=35-5p得P=7-0.20 .L(Q)=Q7-0.2Q)-30-1-aQ =0.2Q2+(4-a)0-1 L'(@)=-0.40+4-a令L'(Q)=0得驻点 L"(g)=-0.40<0 ∴Q=10-2.5a(吨)时，获利润最大。 (2)征税总额为：T=aQ,而Q是厂家获利最大时的销售量，因此，此处Q=10-2.5a T=10a-2.5a2T'=10-5a 令T'=0得驻点a=2 T"=-5<0 ·当a=2万元时，征收税额最大。 3、解：f0)=1 c=1 f"(x)=3x2+2am+b f(0)=0 → b=0 f"(x)=6x+2a f"0)=0 a=-3 令f"(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0 →x=0,x=2 令f"(x)=6x-6=6(x-1)=0 →x=1 f)=x3-3x2+1 (-0,0) 0 (0,1) (1,2) 2 (2,+) 0 0 + f(x) f"(x) f(x) 上升下凹 局大 下降下凹 下降上四 局 上升上四
四、应用 1、解：（1） x = −1, x = 1, x = 3 ；（2） (−,−1) 和 (3,+) ；（3）[-1，3]；（4）8；（5）4； （6）（0，1）和 (2,+) ；（7） (−,0) 和（1，2）；（8）（0，7），（1，6），（2，5） 2、解：（1）税后利润为： L(Q) = QP − 3Q −1− aQ 又由 Q = 35 − 5p 得 P = 7 − 0.2Q L(Q) = Q(7 − 0.2Q)− 3Q −1− aQ = 0.2 (4 ) 1 2 Q + − a Q − L(Q) = −0.4Q + 4 − a 令 L(Q) = 0 得驻点 L(Q) = −0.4Q 0 Q = 10 − 2.5a （吨）时，获利润最大。 （2）征税总额为： T = aQ ，而 Q 是厂家获利最大时的销售量，因此，此处 Q = 10 − 2.5a 2 T = 10a − 2.5a T =10−5a 令 T = 0 得驻点 a = 2 T = −5 0 当 a = 2 万元时，征收税额最大。 3、解： f (0) = 1 c = 1 f (x) = 3x + 2ax + b 2 f (0) = 0 b = 0 f (x) = 6x + 2a f (1) = 0 a = −3 令 ( ) 3 6 3 ( 2) 0 2 f x = x − x = x x − = x = 0, x = 2 令 f (x) = 6x − 6 = 6(x −1) = 0 x =1 ( ) 3 1 3 2 f x = x − x + x (−,0) 0 （0，1） 1 （1，2） 2 (2,+) f (x) + 0 - - 0 + f (x) - - 0 + + f (x) 上升下凹 局大 下降下凹 拐 下降上凹 局 小 上升上凹
:fn2)=-3 五、证明 1、证明：设)=n登-产则了)=os受-月 /)=-m5<00<x<) ·函数f(x)对应曲线在(0，π)内向上 又由于f(0)=f(π)=0 :当0<x<π时，fx)0 :m子月 2、证明：作辅助函数F(x)=f(x)-x 显然F(x)在[，1上连续，在(，D内可得，且F0=-1<0,F()=)>0, 由零值定理，存在点1∈(5)，使得F()=0,又由于F(O)=0,对F(x)在0，川 上应用罗尔定理，存在点E∈(0，)c(0,1)使得F'()=0,即f'(5)=1 第五章不定积分答案与提示 一、填空 1中：2，得：4nmg+e:sd+e 2 6、2nx-h2x+c: 9、2tanx+c:10、x+arctanx+c: 1l、x-ne2+)+g 二、选择 1、A2、B3、D4、B5、B6、C7、C 三、计算 1小品原若-小g+女mx+ 2解原tmn本=1+ 11 hsin刘-nll+sin+c
fmin (2) = −3 五、证明 1、证明：设 x x f x = − 2 ( ) sin 则 1 2 cos 2 1 ( ) = − x f x 0,(0 ) 2 sin 4 1 ( ) = − x x f x 函数 f (x) 对应曲线在 (0, ) 内向上凸 又由于 f (0) = f ( ) = 0 当 0 x 时， f (x) >0 即： x x 2 sin 2、证明：作辅助函数 F(x) = f (x) − x 显然 F(x) 在[ 2 1 ，1]上连续，在（ 2 1 ，1）内可得，且 0 2 1 ) 2 1 F(1) = −1 0, F( = ， 由零值定理，存在点 ,1) 2 1 ( ，使得 F() = 0 ，又由于 F(0) = 0 ，对 F(x) 在 [0,] 上应用罗尔定理，存在点 (0,) (0,1) 使得 F( ) = 0 ，即 f ( ) = 1 第五章 不定积分答案与提示 一、填空 1、 2 1 x − ； 2、 x e 2 ； 3、 2 1 ( ) x f x + ； 4、 c x + 2 tan arctan 2 1 ； 5、e c x e + ； 6、 x − x + c 2 2ln ln ； 7、 c x x − + ln ； 8、 − +1 x x e ； 9、 tan x + c 2 1 ； 10、 x + arctan x + c 3 ； 11、 x e c x − ln( +1) + 二、选择 1、A 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 三、计算 1、解：原式= x c x dx x x dx x x x x = − + + + = + + + + arctan 1 ) 1 1 1 ( (1 ) 1 2 2 2 2 2 2 2、解：原式= dx x x dx x x x ) 1 sin 1 sin 1 ( sin (1 sin ) cos + = − + = ln sin x − ln 1+ sin x + c
3解令+e1-)k山 照je-1rc-rhg-+e -g(+e"-++c 解：展武中x+-h地 =-[[n(x+1)-Inx)dx[In(x+1)-Inx] -[h(x+l)-h xP+c =-2h21+3)+c 5、解：原式=[n(sinx).sec2xdk=[h(sinx)d tanx mkm小ma =tan xIn(sin x)-x+c 6、解：令√=c0s1x=c0s21 dx=-2costsin tdt 原式-2可品，os1smd=-2dm1=-2smd-1sm) =-2(cost+tsin ()+c =-2(+-x.arccosx)+c 7、解：令1+x=tdk=d 原由=小-h =-+x)2+与0+3+c +2+0-+c 2 民原
= c x x + 1 + sin sin ln 3、解：令 e t x + = 2 1 ln( 1) 2 1 2 x = t − dt t t dx 1 2 − = 原式= − − dt t t t t 1 ( 1) . . 2 2 2 = (t − t )dt 4 2 = t − t + c 5 3 3 1 5 1 = e e c x x + − + + 2 3 2 2 5 2 (1 ) 3 1 (1 ) 5 1 4、解：原式= x x dx x x )[ln( 1) ln ] 1 1 1 ( + − + − = − [ln( x +1) − ln x)dx[ln( x +1) − ln x] = − x + − x + c 2 [ln( 1) ln ] 2 1 = c x − + ) + 1 ln (1 2 1 2 5、解：原式= ln(sin x).sec xdx = ln(sin x)d tan x 2 = − dx x x x x x sin cos tan ln(sin ) tan . = tan x ln(sin x) − x + c 6、解：令 x = cost x t 2 = cos dx = −2costsin tdt 原式= − t tdt = t t .cos .sin sin 2 ( ) − 2 td sin t = −2 sin tdt − tsin t = − 2(cost + tsin t) + c = − 2( x + 1− x.arccos x ) + c 7、解：令 1+ x = t dx = dt 原式= = − − dt t t dt t t ) 1 1 ( 1 4 3 4 = − t + t + c −2 −3 3 1 2 1 = − + x + + x + c −2 −3 (1 ) 3 1 (1 ) 2 1 = x c x + − + + [ln( 1) 1] 2 1 2 2 8、解：原式= dx x x x − + − + 2 5 2 2 2 2