于是所求面积A=A1+A2 A=,(x32-6x-x2)dc+(x2-x3+6x)hc 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗?
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 少=x-4 =2x J = →(2,2,(8,4) 选y为积分变量y∈|-2,4 dA=/y+4-y 呵A=」44=18 2
例 3 计算由曲线y 2x 2 = 和直线y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4
如果曲边梯形的曲边为参数方程=g() y=y(t) 曲边梯形的面积A=v()p()t (其中千和t2对应曲线起点与终点的参数值) 在t1,21(或21)上x=φ()具有连续导数, y=(t)连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续
x v2 例4求椭圆亠,+,=1的面积 x= a cos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=4ydx=4 bsin td(acost) =4 ab sin2tt=πab
例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
2.极坐标下平面图形的面积 设由曲线r=q(0)及射线 0+d 0=a、6=B围成一曲边扇 6=B r=q(6) 形,求其面积.这里,p() de 在a,B上连续,且p()≥0 面积元素 0 dA=y(6)0 6=a 曲边扇形的面积 B1 29()d
设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = 2. 极坐标下平面图形的面积 r = ( )