第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）五、根轨迹的分离点（汇合点）两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开的点称为根轨迹的分离点或汇合点，用s，表示。若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远的极点）；若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的零点）：由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况较少）
五、根轨迹的分离点(汇合点) 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开 的点称为根轨迹的分离点或汇合点，用sd表示。 ▲ 若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一 个分离点（包括无穷远的极点）； ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一 个汇合点（包括无穷远的零点）； ▲由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可 能是一些共轭点（此情况较少）。 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）1.分离点的计算Di重根法：根轨迹的分离点实质上就是闭环特征方程的重根，因此可以用求解方程式重根的方法确定其在平面上的位置K.M(s): Gk(s) =N(s)K,M(s):. D(s)=1+G(s)H(s) =1+N(s)（≥2），则若s=S为闭环特征方程的重根D(s) = (s - Sa)'α(s)
1. 分离点的计算 ( ) ( ) ( ) N s K M s G s g k 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 1）重根法：根轨迹的分离点实质上就是闭环特征方 程的重根，因此可以用求解方程式重根的方法确 定其在s平面上的位置。 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 N s K M s D s G s H s g 若s=sd为闭环特征方程的γ重根 （γ≧2），则 ( ) ( ) ( ) 2 D s s s s d
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）D(s)对s的一阶导数为dD(s)= 2(s - Sa)α(s) +(s - sa) α(s)ds=(s - sa)[2α(s) + (s - Sa)α'(s))dD(s)=0必有dsIs=SddD(s)=0ds因此，同时满足条件的点s=Sd，即为根D(s)=0轨迹的分离点
绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 D(s)对s的一阶导数为 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s s s s s s d s d D s d d (s s )2 (s) (s s ) (s) d d 0 ( ) d s s ds dD s 必有 因此，同时满足条件 的点s=sd ，即为根 轨迹的分离点。 ( ) 0 0 ( ) D s ds dD s
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）K.M(s):Gk(s) =N(s)K.M(s):0:. D(s) =1+ G(s)H(s) =1+N(s)N(s)即D(s) = N(s)+ K,M(s) = 0 : K.oM(s)D'(s)=N (s)+ K,M (s)=0N(s)CURRENM'(s)= 0则N (s)-M(s)N'(s)M(s)-N(s)M(s)=0 则可解得s=Sdo
即D(s) N(s) Kg M(s) 0 ( ) 0 ' ( ) ' ( ) ' D s N s Kg M s ( ) ( ) M s N s Kg ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ' ' M s M s N s 则N s 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 ( ) ( ) ( ) N s K M s G s g k 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 N s K M s D s G s H s g ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' N s M s N s M s 则可解得s=sd
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）2）极值法：在分离点s.的K.值不是过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或相反。dK9应有=0dsK.M(s)N(s)S0厦.K.?M(s)N(s)dKN'(s)M(s) - N(s)M (s)9则ds[M(s)]CURRE即N (s)M(s) - N(s)M (s)= 0可见：与重根法结果相同
2）极值法：在分离点sd的Kgd值不是过阻尼的极大 值就是欠阻尼的极小值或相反。 0 d s dKg 应 有 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 M s N s K N s K M s g g ， 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ＝ M s N s M s N s M s d s d K ' ' g 则 可见：与重根法结果相同。 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' 即N s M s N s M s