第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）四、根轨迹的渐近线若n>m，当K,→>oo时，有（n-m）条趋于无穷远处，它们趋向的方位由渐近线决定：渐近线与实轴正方向夹角：9。=(2k+1)元n-m[依次取k=0,±1,土2直到取（n-m）个倾角];渐近线与实轴交点的坐标：CURRE2p,-Yj=-1=g.n-m
四、根轨迹的渐近线 若n>m，当Kg∞时，有（n-m）条趋于无穷远 处，它们趋向的方位由渐近线决定： n m k a (2 1) ① 渐近线与实轴正方向夹角： [依次取k=0, ±1, ±2···直到取（n-m）个 倾角]； ② 渐近线与实轴交点的坐标： n m p z m j j n i i a 1 1 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）设系统的开环传递函数为s" + b,s-1 +...+bm-i$+b,mG(s)H(s) = Ks" +a,sn-I +...+an-is+anK(1)进一步整理为 G(s)H(s)=s"-m + (a; -b,)s"-m-1m其中，,=-1=-D=设在根轨迹上无穷远处有一点s，即s一8，则从复平面上所有有限的开环零、极点指向s的向量都可以认为是相等的。因此，可以将从所有有限的开环零、极点指向s的向量都用从某个固定点。指向的向量代替，即
设系统的开环传递函数为 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 n n n n m m m m g s a s a s a s b s b s b G s H s K 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n m n m g s a b s K 进一步整理为 G s H s （1） m j j b z 1 1 n i a pi 1 其中， 1 设在根轨迹上无穷远处有一点s，即s→∞，则从复平面 上所有有限的开环零、极点指向s的向量都可以认为是 相等的。因此，可以将从所有有限的开环零、极点指 向s的向量都用从某个固定点σ a指向的向量代替，即
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）(2)(s-z)=(s-p:)=(s-oa)mK.II(s-z,)(s-a.)"j=l所以有G(s)H(s) ==K9(s-a)"I(s- p,)i=1KK(3)(s-o.)"-mS'-m+[-(n-m)o,Is"-m-1K(1)G(s)H(s) =sn-mm +(a -b,)sn-m-1 + 比较（1）式和（3）式可得：-(n-m)o。=a -bimZpi-Zzjar-bi=1i=1从而有.=-=(n-m)n-m
绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 所以有 （3） 比较（1）式和（3）式可得： ( ) ( ) ( ) j i a s z s p s n a m a n g i i m j g j s s K s p K s z G s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) [ ( ) ] n m a n m g n m a g s n m s K s K 1 1 (n m) a b a 从而有 n m p z n m a b m j j n i i a 1 1 1 1 ( ) （2） 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n m n m g s a b s K G s H s （1）
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）(2)(S-z,)=(S-P:)=(S-Oa)同理当s一→80时由（2）式可得：Z(s-z;)= (s- p:)=Pa将上式代入相角方程可得：ma-n.=(2k+1)元(2k+1)元从而有k=0,±1，±2...n-m根轨迹渐近线的两个计算公式得到了证明
绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 同理当s→∞时由（2）式可得： ( ) ( ) ( ) j i a s z s p s 从而有 （2） j i a (s z ) (s p ) ma na (2k 1) 将上式代入相角方程可得： n m k a (2 1) k=0, ±1, ±2··· 根轨迹渐近线的两个计算公式得到了证明
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）K例 1：已知 Gk(s)=求渐近线。s(s +1)(s+ 5)解: n=3,m= 0,P, =-1,P =-5渐近线有3条根轨迹趋于无穷远处：0=-2180°60°60°,k=0-20a-22k+1)元-1-5=180,k=1D3=-60,k=-1渐近线CURR1-5-O03S
有3条根轨迹趋于无穷远处; , ( 1)( 5) ( ) s s s K G s g k 解：n 3,m 0, p1 1, p3 5 2 3 1 5 a 6 0 , 1 180 , 1 6 0 , 0 3 2 1 k k k k a 例 1：已知 求渐近线。 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹