例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 X= (0,0)(1,1) y=p 选x为积分变量x∈|0, 面积元素d4=(x-x2) A=「(x-x2)d/2 3 3 3 0 上页
例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 A的图形的面积 6x 解两曲线的交点 yax 3 = 6x J =x →(0,0),(-2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈|2,3 (1)x∈I-2,0,d41=(x3-6x-x2)r (2)x∈|0,3,d42=(x2-x3+6x)dx 上页 圆
例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
于是所求面积A=A1+42 A=,(x32-6x-x2)ax+(x (x-x+6x)dx 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗? 上页
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 4 =2x J=x-4 →(2,-2),(8,4) 选J为积分变量y∈[2,4 2 dA=y+4-y 小A=d4=18 上页
例 3 计算由曲线y 2x 2 = 和直线y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4
如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=o(t) y=y(t) 曲边梯形的面积A=[y()yp(adt f1 (其中千和2对应曲线起点与终点的参数值) 在1,t2](或[2A1)上x=q()具有连续导数, y=v()连续 上页
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续