三、原子的自发辐射理论> Weisskopf-Wigner theory of spontaneous emission betweentwoatomiclevels(W-Wtheory)V.Weisskopf andE.Wigner,Z.Phys.63,54 (1930)在半经典理论中，Paa=-Tpaa+我们在用密度矩阵运动方程的时候，唯象地加入了一个衰减项Tpaa，其实这就是自发辐射项我们将用全量子理论来较好地解释这个问题，涉及到T的理解、定量计算>用全量子理论来解释自发辐射过程叫做WW近似17
17 三、原子的自发辐射理论 Ø Weisskopf-Wigner theory of spontaneous emission between two atomic levels （W-W theory） Ø 在半经典理论中，�**̇ = −��** + ⋯ 我们在用密度矩阵运动 方程的时候，唯象地加入了一个衰减项��** ，其实这就是自 发辐射项 Ø 我们将用全量子理论来较好地解释这个问题, 涉及到 �的理解、定量计算 Ø 用全量子理论来解释自发辐射过程叫做WW近似
Basicidea：原子放在cavity中，cavity中modes与原子耦合，当cavity很大时（无穷空间中），模式连续[a)atoms[b)>此时，哈密顿量应该写成：Zgk(ro)o+akei(a-vk)t + H.c.V=hk9k(ro) = gke-ik-ro其中>系统的初态可以写为：[(0)) = [a,0)代表原子处在上能级和光场处在真空态，如何辐射光子呢？18
18 Ø Basic idea: 原子放在cavity中，cavity中modes与原子耦合，当 cavity很大时（无穷空间中），模式连续 Ø 此时，哈密顿量应该写成： � = ℏO # �# ∗ �9 �$�#�2(;/<!)4 + �. �. 其中 �# �9 = �#�/2#⋅?% Ø 系统的初态可以写为： � 0 = �, 0 代表原子处在上能级和光场处在真空态，如何辐射光子呢？
>之前的通解为：Z[Φ(t) =(Cank(t)la, nk) + Cbnk(t)lb,nk))nk>退化为Z[Φi(t)) = ca(t)la,0) +Cb,k(t)[b, 1k)k其中Cb,k(0) = 0ca(0) = 1,ind代入薛定方程r(t)) =V(t))Vdt19
19 Ø 之前的通解为： |�1(�)⟩ = O 5 O # （�*5!(�)|�, � ⟩ # + �+5!(�)|�, � ⟩ # ） Ø 退化为 �1 � = �* � �, 0 + O # �+,# � �, 1# 其中 �* 0 = 1, �+,# 0 = 0 Ø 代入薛定谔方程 �ℏ 6 64 �1 � = � �1 �
通过方程 l山(t)) = ca(t)[a,0)+ ZkCb,k(t)[b,1k)>可以得到下面的方程组dcaZg(ro)ei(w-vk)tcb,k(t)dtkdcb,k= -igk(ro)e-i(w-vk)tca(t)dt》将第二个式子积分代入第一个式子，得dcadt'ei(a-vk)(t-t')ca(t)1gk(ro)12dt20
20 通过方程 � � = �* � �, 0 + ∑# �+,# � �, 1# Ø 可以得到下面的方程组 ��* �� = −�O # �# ∗ �9 �2(;/<!)4�+,# � ��+,# �� = −��# �9 �/2 ;/<! 4�* � Ø 将第二个式子积分代入第一个式子，得 ��* �� = −O # �# �9 & Z 9 4 ��′ �2 ;/<! (@/4&) �* �′
下面我们需要做一些近似或考虑：(1)在自由空间中，光场模式是连续的，所以可以把求和号改写成积分号-2元TXVM-k2dkdbdo sin θ（2元0o0K(2)得到利用 lgk(ro)12= 2hev8a cos2 和自由空间态密度8dcadt'ei(a-vk)(t-t')ca(t')DdVkvkdtJo0Qab4pab其中D=是和系统有关的常数(2)26hEoc0+k21
21 Ø 下面我们需要做一些近似或考虑： （1）在自由空间中，光场模式是连续的，所以可以把求和号改写 成积分号 O # → 2 � 2� A Z 9 &B �� Z 9 B �� sin � Z 9 C �&�� （2）利用 �, �9 0 = /! 0ℏ1"2 ℘$% 0 cos0 � 和自由空间态密度 得到 ��* �� = � Z 9 C ��# �# A Z 9 4 ��′ �2 ;/<! 4/4& �* �′ 其中D = - �℘#$ % 0< ��ℏ>"�� 是和系统有关的常数