>综上（1）(2)(3)的结果全量子理论中二能级原子与光场相互作用的哈密顿量可以写为（偶极近似）H =hvkatak+=hwoz+h7gk(o+ak+o_at)KK[a)它是处理二能级原子与光场相互作用问题的出发点M[b)>注意到（偶极近似、旋转波近似、无失谐条件下）w=Wa-wb4=-全量子理论中二能级原子与单模光场的相互作用哈密顿量Pabe其中：g=Hi=-abE(o+a+o_at)= hg(o+a+o_at)h即：原子和光子交换能量的能力是用一个光子（量子）来度量的
7 Ø 综上（1）（2）（3）的结果 全量子理论中二能级原子与光场相互作用的哈密顿量可以写为 （偶极近似） � = # , ℏ�,�, '�, + 1 2 ℏ��& + ℏ# , �, �'�, + �(�, ' 它是处理二能级原子与光场相互作用问题的出发点 Ø 注意到 （偶极近似、旋转波近似、无失谐条件下） 全量子理论中二能级原子与单模光场的相互作用哈密顿量 �I = −℘$%ℰ �'� + �(�' = ℏ� �'� + �(�' 其中：� = − ℘$%ℰ ℏ 即：原子和光子交换能量的能力是用一个光子（量子）来度量的
二、二能级原子+单模光场的精确解（J-Cmodel)>如图，考虑二能级原子与单模光场相互作用，被叫做J-C model。 E.T. Jaynes and F. W. Cummings, Proc.IEEE 51, 89 (1963).该体系的哈密顿量可以写为SXH = hvata +=nwoz+hg(o+a+ o_at)2[a)pabe其中耦合强度g=.hN2[b)w=Wa-Wb>相互作用绘景下（如何得到？）A=w-VH = hg(o+aeizt + o_ate-ist)设[Φr(t)) = En (can(t)la,n) + Cbn(t)b,n))8
8 二、二能级原子+单模光场的精确解 (J-C model) Ø 如图，考虑二能级原子与单模光场相互作用，被叫做 J-C model。 Ø 该体系的哈密顿量可以写为 � = ℏ��$� + 1 2 ℏ��0 + ℏ�(�$� + �/�$) 其中耦合强度 � = − ℘#$ℰ ℏ Ø 相互作用绘景下（如何得到？） �1 = ℏ�(�$��234 + �/�$�/234) 设 |�1(�)⟩ = ∑5 （�*5(�)|�, �⟩ + �+5(�)|�, �⟩）
d>代入薛定方程i[(t)) = HΦ(t))dt可以得到：无穷维空间中闭合的有n个量子的两维子空间dcan = -igVn + leit cbn+1dtdCb,n+1= -igVn + 1e-istca,ndt>解得i2igVn+12nt)2nt2ntitCb,n+1(0)Ca,n(t) :Ca,n()sinsinCOS222nni2igVn+12ntl2nt)2nt-iAtCb.n+1(t) =Cb,n+1(0) (Ca,n(0)(cossinsinD2n222n2其中22 = 22 + 4g2(n + 1)与半经典情况类似公式通解一样9
9 Ø 代入薛定谔方程 �ℏ 6 64 �1 � = �1 �1 � Ø 可以得到: 无穷维空间中闭合的有n个量子的两维子空间 ��*,5 �� = −�� � + 1�234�+,5$% ��+,5$% �� = −�� � + 1�/234�*,5 Ø 解得 �$,4 � = �$,4 0 ��� �4� 2 − �∆ �4 ��� �4� 2 − �%,4'5 0 2�� � + 1 �4 ��� �4� 2 �#∆7 �%,4'5 � = �%,4'5 0 ��� �4� 2 + �∆ �4 ��� �4� 2 − �$,4 0 2�� � + 1 �4 ��� �4� 2 �(#∆7 其中 �5 & = �& + 4�& � + 1 与半经典情况类似公式 à 通解一样
然后得到Ca=iPRe神Cel(v半经典结果C,=ReCe-a-r0=00说明：计算过程中，发现e（士）+r已略去，这是因为高频项相对于低频项变化很快，已平均掉，叫做旋转波近在全量子中，发现这一项不符合能量守恒引入失谐A，有效拉比频率Q及参数a1,a2b1,b2后，下一页得到方程通解A=0-VQ=V0R+(0-V)得到通解[C=(aein/2+a,e-in12)elAr/2=(bei112+b,e-in1/2)e-11/2考虑外场条件2,△及初条件Ca(O),Cb(O)后，得到i42t2121e42c,=C.(0)[cosC(O)sinsinQ22iS22TADe-12Rec.O)sinC,=IC,(0)[cossOQ210
10 半经典结果
>下面讨论一种特殊情况，原子初态处于激发态[α)，光场处于即初条件为相干态[α)，Cb,n(0) = 0Ca,n(0) = cn(0),而相干态的光子数分布为（如图n）=25）(n)ne-(n)Pnn(0) := Icn(0)/2[a)n!1(b)>那么在t时刻光子数为n的几率为w=wa-Wb4=0-Vpn(t) = ca,n(t)2 + cb,n (t)422ntQntCos2sin?= Pn,n(0)224g2n2n-itsin?+ Pn-1,n-1(0)Dn-1211
11 Ø 下面讨论一种特殊情况，原子初态处于激发态 � ，光场处于 相干态 � ，即初条件为 �*,5 0 = �5 0 , �+,5 0 = 0 而相干态的光子数分布为（如图 � = 25） �55 0 = � 5�/ 5 �! = �5 0 & Ø 那么在 t 时刻光子数为 n 的几率为 �� � = �*,5 � & + �+,5 � & = �5,5 0 ���& �5� 2 + ∆& �5 & ���& �5� 2 + �5/%,5/% 0 4�&� �5/% & ���& �5/%� 2