而(X+Y)A(X+Y) XAX+ Xay +yax+yart 2X=0 故V构成R的子空间的条件是:对于任意的 X、Y∈V,都有XAT=0
T T T T T T T ( ) ( ) 2 0, , 0. n + + = + + + = = = X Y A X Y XAX XAY YAX YAY XAY V R X Y V XAY 而 故 构成 的子空间的条件是：对于任意的 、 都有
、求向量在给定基下的坐标 例3.证明1,x-1(x-2)(x-1)是Rx]2的一组 基,并求向量1+x+x2在该基下的坐标 解:(1)因为Rx]是3维线性空间,所以Rx中 任意三个线性无关的向量都构成它的一组基。 1,x-1,(x-2)(x-1)∈Rx]2 令:k11+k2(x-1)+k3(x-2)(x-1)=0 整理得 k1-k2+2k3+(k2-3k3)x+k3x3=0
2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1, 1,( 2)( 1) [ ] 1 (1) 3 [ ] [ ] 1, 1,( 2)( 1) . [ ] 1 ( 1) ( 2)( 1) 0. 2 ( 3 ) x x x R x x x R x R x x x x R x k k k x x x k k k k k x − − − + + − − − + − + − − = − + + − + 例3.证明 是 的一组 基，并求向量 在该基下的坐标。 解： 因为 是 维线性空间，所以 中 任意三个线性无关的向量都构成它的一组基。 令： 整理得 2 k x3 = 0 三、求向量在给定基下的坐标
k1-k2+2k3=0 比较等式两边得: k2-3k3=0 k3=0 其系数行列式为D=02-3=2≠0 00 故方程组只有零解,即k1=k2=k3=0,于 是1(x-1)(x-2)(x-1)线性无关,所以 1(x-1)(x-2)(x-1)是R[x的一组基
1 2 3 2 3 3 1 2 3 2 2 0 3 0 0 1 1 2 0 2 3 2 0. 0 0 1 0 1 ( 1) ( 2)( 1) 1 ( 1) ( 2)( 1) [ ] k k k k k k D k k k x x x x x x R x − + = − = = − = − = = = = − − − − − − 比较等式两边得： 其系数行列式为 故方程组只有零解，即 ，于 是 、 、 线性无关，所以 、 、 是 的一组基
(2)设1+x+x2在给定基下的坐标为(an2a2a3) 则有1+x+x2=a1·1+a2(x-1)+a2(x-2(x-1) 整理得 1+x+x2=(a1-a2+2a)+(a2-3a3)x+a2x2 +2a2=1 比较系数 3a2=1→ 4 网所以1+x+x2在给定基下的坐标为(34,1) 即1+x+x2=3+4(x-1)+(x-2)x-1)
2 T 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 T 2 (2) 1 ( , , ) 1 1 ( 1) ( 2)( 1) 1 ( 2 ) ( 3 ) 2 1 3 3 1 4 1 1 1 (3,4,1) 1 3 4( 1) ( x x a a a x x a a x a x x x x a a a a a x a x a a a a a a a a a x x x x x x + + + + = + − + − − + + = − + + − + − + = = − = = = = + + + + = + − + 设 在给定基下的坐标为 则有 整理得 比较系数 所以 在给定基下的坐标为 即 − − 2)( 1). x
证二:(1)已知、x、x2是R[x2的一组基,又1、x-1、 (x-2)(x-1)∈R[x]2,且 (x-2x-1)(2-3 00 又 10 31八(x-2)(x-1 即1、x、x2可以由、x-1(x-2)(x-1线性表示,所 以两个向量组等价故有相同的秩而1,x,x线性无 关,因此1、x-1(x-2)x-1)也线性无关,从而 1、x-1、x-2)(x-1)是R[x2的一组基
2 2 2 2 2 2 (1) 1 [ ] , 1 1 ( 2)( 1) [ ] , 1 1 0 0 1 1 1 1 0 ( 2)( 1) 2 3 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 3 1 ( 2)( 1) 1 1 1 ( 2)( 1) , x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − = − − − − = − − − − − − R R 证二： 已知 、 、 是 的一组基 又 、 、 且 又 即 、 、 可以由 、 、 线性表示 所 以两 2 2 , . 1, , , 1 1 ( 2)( 1) , 1 1 ( 2)( 1) [ ] . x x x x x x x x x − − − − − − R 个向量组等价 故有相同的秩而 线性无 关 因此 、 、 也线性无关 从而 、 、 是 的一组基