向量的数量积还满足下列运算律： 交换律：a·b=b·a; 分配律：（a+b)·c=a·c+b·c; 结合律：（a·b)=(a)·b(其中为常数). (2)数量积的坐标表示 设a=a,i+a2j+a,k,b=b,i+bj+bk,则a·b=a1b+a2b2+ab: (3)向量a与b的夹角余弦 设a=a,i+a2j+a,k,b=b,i+b2j+b,k,则 cose=a.b a by azb2 a3b3 a啊 (0≤0≤π). √a+a好+a好Vb+b好+b好 (4)向量的方向余弦 设向量a=a,i+a,j+a,k与x轴，y轴，z轴的正向夹角分别为 a,B,y0≤a,B,y≤)，称其为向量a的三个方向角，并称 cosa,cosB,cosy为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为 a az cosa= -COSy= a+a+aj √a+a+a ai+a+a Ecos2 a+cos2 B+cos2y=1. 7.向量的向量积 (1)定义两个向量a与b的向量积是一个向量，记作a×b,它的模 和方向分别规定如下： ①aXb=a sine0其中是向量a与b的夹角； ②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b,并且按顺序a,b,a×b
6 向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：a ·b = b ·a ； 分配律：(a +b )·c = a ·c +b ·c； 结合律： (a ·b )=( a )·b (其中为常数) . ⑵ 数量积的坐标表示 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ,则a ·b = 1 1 2 2 3 3 a b a b a b . ⑶ 向量a 与b 的夹角余弦 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ,则 a b a b cos = 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 a a a b b b a b a b a b (0 π) . ⑷ 向量的方向余弦 设向量 a i j k 1 2 3 a a a 与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的正向夹角分别为 , , (0 , , π) , 称 其 为 向 量 a 的 三 个 方 向 角 ， 并 称 cos ,cos ,cos 为a 的方向余弦，向量a 的方向余弦的坐标表示为 2 3 2 2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 1 cos , cos , cos a a a a a a a a a a a a ， 且cos cos cos 1 2 2 2 . 7．向量的向量积 ⑴定义 两个向量a 与b 的向量积是一个向量，记作a ×b ，它的模 和方向分别规定如下： ①a ×b = a b sin 其中是向量a与b的夹角； ②a ×b 的方向为既垂直于a 又垂直于b ，并且按顺序a , b , a ×b
符合右手法则. 向量的向量积满足如下运算律， 反交换律：a×b=-bXa: 分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc; 结合律：1(a×b)=(2a)×b=a×(2b)(其中为常数). (2)向量积的坐标表示 设a=ai+a2j+a,k,b=b,i+b2j+bk,则 a x b=(ab-ab2 )i-(a b:-ab)j+(a b2-ab )k. 可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第 一行展开即可.即 i j k b b2 b3 8.三个重要结论 (1)a=b白a1=b1,a2=b2,a3=b3; (2)a⊥b-ab=0-a1b1+a2b2+a3b3=0 (3)a∥b台a=元b台4=a2=a台axb=0. b1 b2 b3 其中，“一”表示“充分必要条件” 9.平面方程 (1)平面的点法式方程 7
7 符合右手法则. 向量的向量积满足如下运算律. 反交换律：a ×b =-b ×a ； 分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c； 结合律： (a ×b )=( a )×b =a ×( b )(其中为常数) . ⑵向量积的坐标表示 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ，则 a ×b =( )i ( ) j ( )k 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 a b a b a b a b a b a b . 可将a ×b 表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第 一行展开即可.即 a ×b = 1 2 3 1 2 3 b b b a a a i j k . 8.三个重要结论 ⑴a b 1 1 2 2 3 3 a b ,a b ,a b ; ⑵a ⊥b a b 0 0 a1b1 a2b2 a3b3 ; ⑶a ∥b a = b 3 3 2 2 1 1 b a b a b a a b 0 . 其中，“ ”表示“充分必要条件”． ９.平面方程 ⑴平面的点法式方程