复旦大学：《高等数学》课程精选教案_幂级数（教案）

b YI>ab 上式右边就是这两个级数的 Cauchy乘积。 现在介绍幂级数∑anx"的连续性、可微性和可积性。我们这里仅叙述结论, 并给出一些应用这些性质的例子。 定理92.3(和函数的连续性)设∑anx”的收敛半径为R(R>0),则其 和函数在(-R,R)连续,即对于每个x0∈(-R,R) a x 若它在x=R(或x=-R)收敛,则和函数在x=R(或x=-R)左(右) 连续,即 im>anx"=∑anR"(lm n(-R)")。 以上两式意味着求极限运算可以和无限求和运算交换次序 定理9.24(逐项可积性)设∑anx”的收敛半径为R(R>0),则它在(-RR) 上可以逐项积分,即对于任意x∈(-R,R)成立 a a t"d + 上式意味着积分运算可以和无限求和运算交换次序。 定理925(逐项可导性)设∑anx”的收敛半径为R(R>0),则它在(-R,R) 上可以逐项求导,即 a x so d 上式意味着求导运算可以和无限求和运算交换次序。 定理926设幂级数∑ax”的收敛半径为R,则∑“,;x和∑max的 收敛半径也为R 这就是说,对幂级数逐项积分或逐项求导后所得的幂级数与原幂级数有相同 的收敛半径 虽然逐项积分后所得幂级数∑“,x和逐项求导后所得的幂级数 m=0n+1 nanx”与原幂级数∑anx"收敛半径相同,但收敛域却可能扩大或缩小。 例926求幂级数∑ 的和函数。 证易知∑(-1)x的收敛半径为1,且

   n0 n n a x   n0 n n b x              n 0 0 n n k k n k a b x ， 上式右边就是这两个级数的 Cauchy 乘积。 现在介绍幂级数   n0 n n a x 的连续性、可微性和可积性。我们这里仅叙述结论， 并给出一些应用这些性质的例子。 定理 9.2.3 （和函数的连续性） 设   n0 n n a x 的收敛半径为 R （ R  0 ），则其 和函数在 (R, R) 连续，即对于每个 ( , ) x0  R R ，         0 0 0 0 lim n n n n n n x x a x a x 。 若它在 x  R （或 x  R ）收敛，则和函数在 x  R （或 x  R ）左（右） 连续，即          0 0 0 lim n n n n n n x R a x a R （           0 0 0 lim ( ) n n n n n n x R a x a R ）。 以上两式意味着求极限运算可以和无限求和运算交换次序。 定理 9.2.4（逐项可积性）设   n0 n n a x 的收敛半径为 R（ R  0 ），则它在 (R, R) 上可以逐项积分，即对于任意 x(R, R) 成立     x n n n a t t 0 0 d       0 1 n 1 n n x n a 。 上式意味着积分运算可以和无限求和运算交换次序。 定理 9.2.5（逐项可导性）设   n0 n n a x 的收敛半径为 R （ R  0 ），则它在 (R, R) 上可以逐项求导，即 d x d   n0 n n a x     0 d d n n n a x x      1 1 n n n na x 。 上式意味着求导运算可以和无限求和运算交换次序。 定理 9.2.6 设幂级数   n0 n n a x 的收敛半径为 R ，则     0  1 n 1 n n x n a 和     1 1 n n n na x 的 收敛半径也为 R 。 这就是说，对幂级数逐项积分或逐项求导后所得的幂级数与原幂级数有相同 的收敛半径。 虽然逐项积分后所得幂级数     0  1 n 1 n n x n a 和逐项求导后所得的幂级数     1 1 n n n na x 与原幂级数   n0 n n a x 收敛半径相同，但收敛域却可能扩大或缩小。 例 9.2.6 求幂级数      1 1 ( 1) n n n x n 的和函数。 证 易知       1 1 1 ( 1) n n n x 的收敛半径为 1，且

因此对任意x∈(-1,1),应用逐项积分定理得 ∑∫(-1-r-d=J dt In(1+x) 由于∑(=1)x"在x=1收敛,由定理9.2.3就得到一个常用结果 n D)=lmy(-1)=lmh(1+x)=h2。 n 因此 (-1) ∈(-1,1 在此例中,显然∑(-1)“x的收敛域是(-1D),但∑(的收敛域是 例9.2.7将 arctan表示为x的幂级数。 解由于 ∑(-1)"x2,x∈(-1,1) 所以用x2代替x,可得 两边积分,并利用逐项积分定理,得到 arctan= 显然∑()x2-在x=±1收敛,由幂级数和函数的连续性可得 n arctan=S(1)"-1 2n-1 x一-x+-x ,x∈[-1,1。 特别地令x=1,有 例9.28证明:对一切x∈(-1,1),成立 证我们已经知道幂级数∑x的收敛半径为1,且在(-1,1)上成立

x x n n n         1 1 ( 1) 1 1 1 ， x(1,1) 。 因此对任意 x(1,1) ，应用逐项积分定理得 t dt n x n n       1 0 1 1 ( 1)    x t dt 0 1 ， 即 ln(1 ) ( 1) 1 1 x x n n n n        ， x(1,1) 。 由于      1 1 ( 1) n n n x n 在 x  1 收敛，由定理 9.2.3 就得到一个常用结果       1 1 ( 1) n n n         1 1 1 0 ( 1) lim n n n x x n lim ln(1 ) ln 2 1 0     x x 。 因此 ln(1 ) ( 1) 1 1 x x n n n n        ， x(1,1]。 在此例中，显然       1 1 1 ( 1) n n n x 的收敛域是 (1, 1) ，但      1 1 ( 1) n n n x n 的收敛域是 (1, 1]。 例 9.2.7 将 arctanx 表示为 x 的幂级数。 解 由于         1 1 1 ( 1) 1 1 n n n x x ， x(1,1) ， 所以用 2 x 代替 x，可得         1 1 2 2 2 ( 1) 1 1 n n n x x ， x(1,1) ， 两边积分，并利用逐项积分定理，得到             3 5 1 2 1 1 5 1 3 1 2 1 ( 1) arctan x x x x n x n n n ， x(1,1) 。 显然        1 2 1 1 2 1 ( 1) n n n x n 在 x  1 收敛，由幂级数和函数的连续性可得             3 5 1 2 1 1 5 1 3 1 2 1 ( 1) arctan x x x x n x n n n ， x[1,1]。 特别地令 x  1 ，有           2 1 ( 1) 5 1 3 1 1 4 1 n n  。 例 9.2.8 证明：对一切 x(1,1) ，成立    n1 n nx 2 (1 x) x  。 证 我们已经知道幂级数   n0 n x 的收敛半径为 1，且在 (1, 1) 上成立