3区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函数 当点是区间的端点时,相应的连续为单侧连续.即若 f(x)是区间[a,b上的函数,f(x)在(a,b)上连续,且f(x) 在x=a处是右连续、在x=b处是左连续的
3.区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函数． 当点是区间的端点时，相应的连续为单侧连续．即若 是区间[a, b]上的函数， 在(a, b)上连续，且 在 x=a处是右连续、在 x=b处是左连续的． f x( ) f x( ) f x( )
例2证明y=m(x(2+2)是连续函数 证设x是区间(-0,∞)内的任意一点,给x以增量 x,相应函数的增量为 △x △x △y=sin(x+△x)-sinx=2sin=cosx+ 2 因|cosx≤1,故 △x △x xX △x △y|=2sin-cosx+ 2sin-≤2 △ 2 故当△x→>0.有y→>0
例2 证明 y x = sin ( x ∈ −( ∞,+∞)) 是连续函数． 证 设 是区间 内的任意一点，给 以增量 ，相应函数的增量为 x (−∞ +, ∞) x ∆x sin( ) sin 2sin cos , 2 2 x x y x x x x ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ = + ∆ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 因 ， cos x ≤1 故 2sin cos 2 sin 2 , 2 2 2 2 x x x x y x x ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ ∆ ∆ = + ⎜ ⎟ ≤ ≤ = ∆ ⎝ ⎠ 故当 ∆ →x 0, 有∆y → 0
4由此证明了函数y=snx在区间(-∞,+∞)上的连续性 注若f(x)是区间I上的连续函数,则记为f∈C() 即 C()={为上的连续函数}
由此证明了函数 y x = sin 在区间 (−∞ +, ∞)上的连续性． 注 若 是区间I上的连续函数，则记为 即： f x( ) f C∈ ( )I . C I( ) = { f f 为I上的连续函数}
3函数的间断点 设函数f(x)在x0的某去心领域中有定义,若x不是 f(x)的连续点,则称x是f(x)的间断点 间断点的类型: 6(1)f(x)在x0处无定义; (2)f(x)在x0处有定义,但imf(x)不存在; x→)X (3)f(x)在x处有定义且mf(x)存在,但 imf(x)≠f(x)
3.函数的间断点 设函数 f x( )在 的某去心领域中有定义，若 不是 的连续点，则称 是 的间断点． 0 x f x( ) 0 x 0 x f x( ) 间断点的类型： ⑴ 在 处无定义； ⑵ 在 处有定义，但 不存在； ⑶ 在 处有定义且 存在，但 0 f x( ) x f x( ) 0 x 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x f x → 0 f x( ) x 0 0 lim ( ) ( ). x x f x f x → ≠
4例3设函数f(x) ,则函数在x=0处不连续,但 若重新定义 x≠0 f(x)= x x=0 则函数f(x)为整个定义域上的连续函数
例3 设函数 ，则函数在 x=0处不连续，但 若重新定义 1 ( ) x e f x x − = 1 0 ( ) , 1 0 x e x f x x x ⎧ − ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = 则函数 f x( ) 为整个定义域上的连续函数．