3.3高阶导数一、高阶导数的概念路程函数s = s(t)引例：变速直线运动的虽ds速度即=s'V=dtdvdds加速度a=dtdtdt即(s')"a=d ( ds这种导数的导数或(s)叫做s对的二阶导数,at(dtd’s记作或s"(t)dt?
速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动的 ( ) , d ds s s t dt dt 这种导数的导数 或 叫做 对 的二阶导数 2 2 ( ) d s s t dt 记作 或 1
定义：如果函数f(x)在点x的某邻域内是可导的且其导函数f(x)在点x处又有导数f'(x+△x)- f'(x)(f'(x)'= limAxAr-0则称之为函数f(x)在点x处的二阶导数d-f记作或f"(x), y"dr?dx?并称函数f(x)在x处是二阶可导的.若函数f(x)在区间(a,b)内的每一点处都是二阶可导的,则称f(x)在(a,b)内二阶可导
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) lim , ( ) . x f x x f x x f x x f x f x x f x x → + − = 如果函数 在点 的某邻域内是可导的, 且其导函数 在点 处又有导数 则称之为函数 在点 处的二 定 : 阶导数 义 记作 2 2 2 2 ( ), , . d y d f f x y dx dx 或 并 称 函 数f x x ( )在 处 是 二 阶 可 导 的. ( ) ( , ) , ( ) ( , ) . f x a b f x a b 若 函 数 在 区 间 内 的 每 一 点 处 都 是 二 阶 可 导 的 则 称 在 内 二 阶 可 导 2
1例1 设 f(x)求f'(0), f"(0)-2x解(1+x")-2x2(3x2 -1)fw(x)(1+x(1+x*)3-2x2(3x2 - 1)=-2.f"(0) =(0)x=0 = 0;/x=0(1+x")3(1+x")2
例 1 , (0), (0). 1 1 ( ) 2 f f x f x + 设 = 求 解 ) 1 1 ( ) ( 2 + = x f x 2 2 ( 1 ) 2xx +− = ) ( 1 ) 2 ( ) ( 2 2 +− = xx f x 2 3 2 ( 1 ) 2 ( 3 1 ) x x+ − = 2 2 0 ( 1 ) 2 ( 0 ) = +− = x xx f 2 3 0 2 ( 1 ) 2 ( 3 1 ) ( 0 ) = + − = x x x = 0 ; f = − 2 . 3
二阶导数的导数称为三阶导数，f"(x)，y"dbX三阶导数的导数称为四阶导数，f(4)(x)，y(4),24一般地,设函数y=f(x)在点x的邻域内有直到n-1阶的导数如果它的n-1阶导数f(n-l)(x)在点x处可导,则称f(n-l)(x)在点x处的导数为函数f(x)的n阶导数,F"(a), y, 或d记作dxn"dxn二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数为方便起见,把函数本身称为零阶导数,记作f(x)= f(o)(x)若函数f(x)在区间(α,b)内的每一点处都是n阶可导的,则称f(x)在(a,b)内n阶可导
( 1) ( 1) , ( ) 1 , -1 ( ) , ( ) ( ) , n n y f x x n n f x x f x x f x n − − 一般地 设函数 = − 在点 的邻域内有直到 阶的导数 如果它的 阶导数 在点 处可导 则称 在点 处的导数为函数 的 阶导数 ( ) ( ) ( ), , . n n n n n n d y d f f x y dx dx 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 三阶导数的导数称为四阶导数, 3 3 ( ), , . d y f x y dx 二阶导数的导数称为三阶导数 , 4 (4) (4) 4 ( ), , . d y f x y dx (0) 为方便起见,把函数本身称为零阶导数, ( ) ( ). 记作f x f x = 4 记作 ( ) ( , ) , ( ) ( , ) . f x a b n f x a b n 若函数 在区间 内的每一点处都是 阶可导的 则称 在 内 阶可导
例2设 y= x (αE R),求y(n)解'=αxa-ly"=(αxa-l) =α(α-1)xα-2y" =(α(α-1)xα-2)=α(α-1)(α-2)xα-3y(n) = α(α-1)...(α-n + 1)xα-n(n ≥l)若α为自然数n,则J(")=(x")(")= n!，注:n!=n(n-1).1称为n的阶乘y(n+I) = (n!) = 0.设P(x)是m次多项式,则当n>m时有p(m) (x)=—0
例 2 ( ) ( ), . n y x R y 设 = 求 解 1 y x − = 1 y x ( ) − = 2 ( 1) x − = − 2 3 y x x ( ( 1) ) ( 1)( 2) − − = − = − − ( ) ( 1) ( 1) ( 1) n n y n x n − = − − + 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0. 注: ! ( 1) 1 . n n n n = − 称为 的阶乘 ( ) 5 ( ) , ( ) n 设 是 次多项式 则当 时有 P x m n m P x = 0