例2设-V(x, y)(0, 0),+f(x, y)1Y0,(x, y) = (0, 0),lim证明f(x, y) = 0.(x,y)-→(0, 0)证(证法一）>0,由x?- y+x?+ y?后页返回前页
前页 后页 返回 例2 设 2 2 2 2 ( , ) (0, 0), ( , ) 0, ( , ) (0, 0), x y xy x y f x y x y x y ， − = + = 证明 ( , ) (0, 0) lim ( , ) 0. x y f x y → = 证 (证法一) 0, 由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 x y x y x y xy x y x y − + − − + +
-/x-y≤(*+y),2可知=28,当0x2+时,便有x--0<8,xyx'+y故lim. f(x, y) = 0.(x, y)→(0, 0)注意不要把上面的估计式错写成-0sx2y(*+)xiL2xy前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 2 2 2 2 ( ), 2 2 = − + x y x y 可知 2 2 = + 2 , 0 , 当 时 便有 x y 2 2 2 2 0 , x y xy x y − − + 故 ( , ) (0, 0) lim ( , ) 0. x y f x y → = 注意 不要把上面的估计式错写成： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ( ), 2 2 x y x y x y x y x y x y x y − − − + +
因为(x,y)→(0,0)的过程只要求(x,y)≠(0,0),即x2+ y20,而并不要求 xy ±0.(证法二)作极坐标变换x=rcos,=rsinβ.这时(x,J)→(0,0)等价于r→0（对任何). 由于x?- y?I f(x, y) -0 / =xy+ysin4p≤r=r2因此,>0,只须r=x2+2<=2/,对任何后页返回前页
前页 后页 返回 因为 ( , ) (0, 0) x y → 的过程只要求 ( , ) (0, 0), x y 即 2 2 x y + 0, 而并不要求 x y 0. (证法二) 作极坐标变换 x r y r = = cos , sin . 这时 2 2 2 2 | ( , ) 0 | x y f x y x y x y − − = + 1 1 2 2 | sin4 | , 4 4 = r r ( , ) (0, 0) x y → 等价于 r → 0 ( 对任何 ). 由于 因此， 2 2 = + = 0, 2 , 只须 r x y 对任何
都有1.F(x, y)-0↓≤r2<6, 即Jlim. f(x, y) = 0.4(x, y)→(0, 0)下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则（而且证明方法也相类似）5lim f(P)= A 的充要条件是：对于 D 的定理16.5P→PoPeD任一子集E，只要P仍是E的聚点，就有lim f(P) = A.P-→PoPeE后页返回前页
前页 后页 返回 都有 2 ( , ) (0, 0) 1 | ( , ) 0 | , lim ( , ) 0. 4 x y f x y r f x y → − = 即 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相类似). 定理16.5 0 lim ( ) P P P D f P A → = 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有 0 lim ( ) . P P P E f P A → =
推论1 若 日E, D,P。是 E,的聚点,使 lim f(P)P-→PoPeE不存在,则 lim f(P)也不存在。P-→PoPeD推论2 若 Ei,E,CD,P是它们的聚点，使得lim f(P)= A 与 lim f(P)= A,P→PoP-→PoPeEiPeE2都存在，但 A ≠ A2，则 lim f(P)不存在,P-PoPeD后页返回前页
前页 后页 返回 E D 1 0 1 lim ( ) P P P E f P → 推论1 若 , P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 0 lim ( ) P P P D f P → 也不存在． 0 0 1 2 1 2 lim ( ) lim ( ) P P P P P E P E f P A f P A → → = = 与 1 2 0 推论2 若 E E D P , , 是它们的聚点，使得 A A 1 2 0 lim ( ) P P P D f P → 都存在，但 , 则 不存在．