因此D,所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组 所以列向量组的秩等于r=R(A)】 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A), 重要推论（最大无关组的求法）： 若D,是矩阵的一个最高阶非零子式，则 D,所在的列即是列向量组的一个最大无关组， D,所在的行即是行向量组的一个最大无关组 (11 2 例已知向量组4：a,=0,4=14=1 求向量组4的秩，并求的一个最大无关组 112）.101 解记A=(a,a,a)=011日011 101(000 ..R(a.d.)=R(A)=2 61o60引-o ∴.4,4、a,a4,a,是向量组的最大线性无关组 所以：)一般地，最大无关组不唯一，但所含向量个数相同. (2)向量组与它的最大无关组是等价的 证设向量组4：a,4,,a,是向量组4：a,4,,a的一个最大无关组 显然，向量组A,可以由向量组4线性表示， 由最大无关组的定义，知向量组4可以由向量组A线性表示， 所以，向量组4，与向量组4等价 (③)一个向量组的两个不同最大无关组是等价的
77 A . 因此 所在的 列是 的列向量组的一个最大无关组 D r r 所以列向量组的秩等于r R = (A). 类似可证 的行向量组的秩也等于 A (A). R 重要推论(最大无关组的求法)： , : 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式 则 D A r D r r所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， . D r r所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 例 123 112 : 0, 1, 1, 101 Aa a a ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ === ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 已知向量组 求向量组 的秩 并求 的一个最大无关组 A A , . 解 123 112 101 A (, , ) 0 1 1~0 1 1 101 000 r aaa ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ … 记 123 ∴Ra a a R ( , , ) (A) 2 = = 11 12 12 1 0, 1 0, 1 0 01 01 11 又∵ = ≠ = ≠ =− ≠ 12 13 23 ∴aa aa aa A ,,, . 、 、 是向量组 的最大线性无关组 所以: (1) , , . 一般地 最大无关组不唯一 但所含向量个数相同 (2) . 向量组与它的最大无关组是等价的 证 0 12 12 :,, , :,, , , 设向量组 是向量组 的一个最大无关组 A aa a Aaa a " " r m 0 显然 向量组 可以由向量组 线性表示 , , A A 0 由最大无关组的定义 知向量组 可以由向量组 线性表示 , , A A 0 所以 向量组 与向量组 等价 , . A A (3) . 一个向量组的两个不同最大无关组是等价的
例全体维向量构成的向量组记作R”,求R的一个最大无关组及R的秩 解因为维单位坐标向量构成的向量组E:,,…,e,是线性无关的 又R中的任意n+1个向量都线性相关， 因此向量组E是R的一个最大无关组，且R的秩等于 例设矩阵 2-1-112\ A= 11-214 4-62-24 (36-979 求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大 无关组线性表示 解记A=(a,a,a,a,a),对4施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 11-214Y 01-110 A=(a,a4,a,a,a,)0001-3 (00000 知R(4)=3, 故列向量组的最大无关组含3个向量 而三个非零行的非零首元在124三列， 故a,a,a,为列向量组的一个最大无关组 为了把a,a,用a,a,a,线性表示，将4再变成行最简形矩阵 10-104Y 01-103 A=(a,a2,4,a4,a5)初道变换 0001-3 00000 即得 a=-4-4+0a 初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系 a5=4a+3a2-3a4 初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系 定理若向量组T可由向量组T,线性表示，则向量组T的秩不超过向量组
78 例 . nn n 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的一个最大无关组及 的秩 n RR R 解 1 2 :,, , n 因为 维单位坐标向量构成的向量组 是线性无关的， n Eee e " 1 n 又 中的任意 个向量都线性相关， ∵R n + ,. n n 因此向量组 是 的一个最大无关组 且 的秩等于 ER R n 例 设矩阵 2 1 112 11 214 4 6 2 24 36 979 A ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − = − − ⎝ ⎠ − . 求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大 A 无关组线性表示 解 12345 记 ， (, , , , ) A aaaaa = 对 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 A 12345 11 21 4 01 11 0 ( , , , , ) 00 0 1 3 00 0 0 0 ~ A aaaaa ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ 初等行变换 ， 知 ， R A() 3 = 故列向量组的最大无关组含 个向量 3 . 而三个非零行的非零首元在 、、三列， 124 124 故 为列向量组的一个最大无关组 aaa ,,, . 35 124 为了把 用 线性表示 将 再变成行最简形矩阵 aa aaa A , ,, , . 12345 10 10 4 01 10 3 ( , , , , ) 00 0 1 3 00 0 0 0 ~ A aaaaa ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ 初等行变换 3 12 4 5 124 0 433 a aa a a aaa ⎧ =− − + ⎨ ⎩ =+− 即得 定理 若向量组 T1 可由向量组 T2 线性表示，则向量组 T1 的秩不超过向量组 初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系. 初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系
T2的秩。 证明不妨设向量组T,和向量组T2的极大线性无关组分别为： ()%,42,…,a；和(I)月，月2，…，B 向量组（①可由向量组T线性表示：向量组T可由向量组T2线性表 示；向量组T2可由向量组（山）线性表示。所以由向量组的线性表示的 可传递性，向量组①可由向量组（四线性表示，得到：r≤s 即，向量组T的秩不超过的向量组T2秩。 推论等价向量组的秩相等。 证设向量组4与向量组的秩依次为s和r 因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示， 故s≤r与r≤s同时成立 推论R(AB)smin{R(A),R(B)} 四、n维向量空间 1.向量空间的概念 定义设V是n维向量构成的非空集合，且满足 ()对Ha,Be',有a+Be', (2)对VaeV,任意数k有kaeV, 那么就称集合V是一个向量空间。 说明集合V对于加法及乘数封闭是指： 若ae',Be',则a+Be'; 若a∈V,k∈R,则ka∈V 例证明3维向量的全体R,是一个向量空间 )R非空， (2a,B∈R3,有a+B∈R (3)Hk∈eR,Ya∈R,有ka∈R, R是一个向量空间
79 T2 的秩。 证明 不妨设向量组 T1 和向量组 T2 的极大线性无关组分别为： 12 12 () , , , ; ( ) , , , α α α ββ β r s Ι ΙΙ " " 和 向量组(I)可由向量组 T1 线性表示；向量组 T1 可由向量组 T2 线性表 示；向量组 T2 可由向量组(II)线性表示。所以由向量组的线性表示的 可传递性，向量组(I)可由向量组(II)线性表示，得到： r s ≤ 即，向量组 T1 的秩不超过的向量组 T2 秩。 推论 等价向量组的秩相等。 证 设向量组 与向量组 的秩依次为 和 A B sr . 因两个向量组等价 即两个向量组能相互线性表示 , , 故 与 同时成立 srrs ≤ ≤ 推论 R( ) min ( ), ( ) AB R A R B ≤ { } 四、n 维向量空间 1. 向量空间的概念 定义 设V 是n 维向量构成的非空集合，且满足 (1) , , (2) V V V kk V αβ α β α α ∀∈ ∈ ∀ ∈ ∈ 对 有＋ ， 对 ，任意数 有 ， 那么就称集合V 是一个向量空间。 说明 集合V 对于加法及乘数封闭是指： 若 则 α ∈VV V ,, ; β αβ ∈ +∈ 若 则 α ∈Vk R k V ,, . ∈ ∈ α 例 3 证明 维向量的全体 是一个向量空间 :3 , . R 3 ∵(1) , R 非空 3 3 (2) , , , ∀ ∈ +∈ αβ α β R 有 R 3 3 (3) , , , ∀∈ ∀ ∈ ∈ kR R k R α α 有 3 ∴R 是一个向量空间
类似地，维向量的全体”，也是一个向量空间 向量空间必含零向量 例判别下列集合是否为向量空间。 ={x=(0,x,…x)x2,…,xn∈R 解显然V油维向量构成的集合，非空， 又：对于的任意两个元素 a=(0,a,…,a)',B=(0,h,…,b)'e 有a+B=(0,a2+b,…,an+b.)}'∈ a=(0,a2,…,a)er2eR) “是向量空间 例判别下列集合是否为向量空间。 ={x=(1,x,…,x)'x,…,x∈R 解因为对于a=(1,a,,a)'e', 有2a=(2,2a2,…,2an)'g2 不是向量空间 例设a,b为两个已知的m维向量，集合 V={x=Aa+ub A,uER 试判断集合是否为向量空间。 .Vx=a+ubeV,x=a+,kER 有x+x=(+)a+(4+4)b∈'， =(ka)a+(k4)b∈'. 又V≠：e)∴V是向量空间 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间记作L(a,b). b
80 , . n 类似地 维向量的全体 ，也是一个向量空间 n R 向量空间必含零向量. 例 判别下列集合是否为向量空间。 1 22 { ( ) 0, , , , , } T V x x x x xR == ∈ " " n n 解 1 显然 由 维向量构成的集合 非空 V n , , 又 对于 的任意两个元素 ∵ V1 ( )( ) 2 21 0, , , , 0, , , , T T n n α β = =∈ aa bbV " " ( ) 22 1 0, , , T n n 有 α β += + + ∈ ab ab V " ( ) 2 1 0, , , ( ) T n λα λ λ λ = ∈ ∀∈ a aV R " 1 ∴V是向量空间. 例 判别下列集合是否为向量空间。 2 22 { ( ) 1, , , , , } T V x x x x xR == ∈ " " n n 解 ( ) 2 2 1, , , , T n 因为 对于α = ∈ aaV " ( ) 2 2 2 2,2 , ,2 . T n 有 α = ∉ a aV " 2 ∴V 不是向量空间. 例 设 为两个已知的 维向量，集合 ab n , Vxab R == + ∈ { λ μ λμ, } 试判断集合是否为向量空间。 11 1 2 2 2 , 解 ∵∀= + ∈ = + ∈ ∈ x λ a b Vx a b V k R μ λμ ， 有 12 12 1 2 x += + + + ∈ x a bV ( )( ) , λ λ μμ 11 1 kx k a k b V =+∈ ()() . λ μ 又 是向量空间 V VV ≠∈ ∴ φ() . ∵θ 这个向量空间称为由向量 所生成的向量空间记作 ab Lab , . ( , ). b c μb μb d
一般地，由向量组a,a,…,an所生成的向量空间为 V={x=a,+2a,+…+nanh,2,…,neR} 记作V=川a,a,…,a】 例设向量组a,…,an与向量组，…，b等价，记 ={x=a+24+…+nanA,2,…,neR ={x=4h+5b++4,b4,4,…4,∈R} 试证r=V 证设xe,则x可由a,,an线性表示 因a,,a可由h,…,b,线性表示，故x可由b,…,b,线性表示， .yc', 同理可证：c, “r=V3. 2.子空间 定义设K,y,都是向量空间，若c,则称V是'的子空间 例={x=(0,名，，x|,,xeR风
81 一般地， 1 2 ,,, m 由向量组 所生成的向量空间为 aa a " Vx a a a R = = + ++ ∈ { λ λ λ λλ λ 11 2 2 1 2 " " mm m ,,, } 1 2 [, , , ] 记作 V L = α α α " m 例 设向量组 1, , m a a " 与向量组 1, , s b b " 等价，记 Vxa a a R 1 11 2 2 1 2 = = + ++ ∈ { λ λ λ λλ λ " " mm m ,,, } Vxb b b R 2 11 2 2 1 2 = = + ++ ∈ { μ μ μ μμ μ " " ss s , , } 试证 1 2 V V= . 证 1 1,, . m 设 ，则 可由 线性表示 xV x a a ∈ " 11 1 ,, ,, ,, ms s 因 可由 线性表示，故 可由 线性表示， aa bb xbb "" " 1 2 ∴V V ⊂ , 2 1 同理可证: , V V ⊂ 1 2 ∴V V= . 2. 子空间 定义 12 1 2 1 2 设 都是向量空间 若 则称 是 的子空间 VV V V V V , ,, . ⊂ 例 12 2 { ( ) 0, , , , , } T V x x x x xR == ∈ " " n n