YcR”,y是向量空间， ·V是R的子空间 3.向量空间的基与维数 定义设V是一个向量空间，若r个向量a,必，…，a,∈V,满足 ()a,,,a,线性无关 (2)中任一向量都可由4,4，…，a,线性表示. 则称向量组a,…,a,是V的一个基，r称为V的维数，并称V为r维向量空间 说明(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，它没有基。 (2)若把向量空间V看作向量组，那未V的基就是向量组的最大线性 无关组，V的维数就是向量组的秩 (3)若向量组a,a,…,a,是向量空间V的一个基，则V可表示为 '={x=4+a+…+,0n,…,2,eR} =a,a2…,a,] （22-1 -122 -42 验证a,a2,a,是R的一个基，并把A,b,用这个基线性表示 22-114 解(4：B)=2-1203 -122-42 因有A~E,故a,4,4,为R的一个基，且 6-=a+a+a
82 1 1 , , n ∵V V ⊂ R 是向量空间 1 . n ∴V是 的子空间 R 3. 向量空间的基与维数 定义 1 2 , ,,, , 设 是一个向量空间 若 个向量 满足 Vr V α α α " r ∈ 1 2 (1) , , , ; α α α " r线性无关 1 2 (2) , , , . V中任一向量都可由 线性表示 α α α " r 1,, , 则称向量组 是 的一个基 α " αr V r V 称为 的维数, 并称 为 维向量空间 V r . 说明 （1）只含有零向量的向量空间称为 0 维向量空间，它没有基。 （2）若把向量空间 V 看作向量组，那末 V 的基就是向量组的最大线性 无关组, V 的维数就是向量组的秩. （3）若向量组 1 2 ,,, α α α " r 是向量空间V 的一个基，则V 可表示为 Vx R = = + ++ ∈ { λα λα λα λ λ 11 2 2 1 " " rr r , , } 1 2 [, , , ] = L α α α " r 例 设矩阵 123 22 1 (, , ) 2 1 2, 12 2 A aaa ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 2 1 4 ( , ) 0 3, 4 2 B bb ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 3 1 2 3 12 验证 是 的一个基，并把 用这个基线性表示 aa a R bb ,, , . 解 2 4 100 3 3 2 2 114 2 ( ) 2 1 2 0 3 010 1 3 1 2 2 42 2 001 1 3 A B ~ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ =− − ⎝ ⎠ − − − ⎝ ⎠ # 初等行变换 3 因有 ，故 为 的一个基，且 A E aaa R ~ ,, 123 1 1 23 2 12 3 2 2 , 3 3 4 2 . 3 3 b a aa b aa a =−− = ++
4.向量在基下的坐标 定义设a,a,,a是m维向量空间的一组基，对B∈八，有 B=xa1+x3%+…+xnam 那么组合系数x,x,…,xn构成的向量(x,,…,x)'称为在基a4,4,…,a 下的坐标。 向量空间V的基确定之后，V中向量在该基下的坐标是唯一的。 6=3a+4+50 A在，品马下的坐标为：号号1 么44下的坐标为：（停号 5.基变换公式与过渡矩阵 问题：在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为的一组 基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的. 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的 改变，向量的坐标如何改变呢？ 设a,a,…,a,及月，月，…，Bn是线性空间V的两个基，且有 B2=P12a1+P2%+…+Pn2an Bn=Pna+P2na2+…+Pma。 称此公式为基变换公式， 由于 B=P1%+P2%3+…+Pan P Bn=pn4+p22+…+pna
83 4. 向量在基下的坐标 定义 1 2 ,,, 设 是 维向量空间 的一组基， α α α " m m V 对 ，有 β ∈V 11 2 2 m m β = xx x αα α + ++ " 12 12 1 2 ,,, ,,, , ,, m mm xx x xx x " "" β αα α 那么组合系数 构成的向量（ ）称为 在基 T 下的坐标。 向量空间 V 的基确定之后，V 中向量在该基下的坐标是唯一的。 例 1 1 23 2 12 3 2 2 , 3 3 4 2 . 3 3 b a aa b aa a =−− = ++ 1 123 2 123 ,, , ,, , b aaa b aaa T T 2 2 在 下的坐标为：（ - ,-1） 3 3 4 2 在 下的坐标为：（ 1, ） 3 3 5. 基变换公式与过渡矩阵 问题：在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为 的一组 基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的． 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的 改变，向量的坐标如何改变呢？ 12 12 ,,, ,,, , 设 及 是线性空间 的两个基 且有 α α α ββ β " " nnn V 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 11 2 2 , n n n n n n n nn n pp p pp p pp p β αα α β αα α β αα α ⎧ = + ++ ⎪ ⎪ = + ++ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = + ++ " " """""""""""" " 称此公式为基变换公式． 由于 1 11 1 21 2 1 1 11 21 1 1 2 12 1 22 2 2 2 12 22 2 2 11 2 2 1 2 nn n nn n n n n nn n n n n nn n p p p pp p p p p pp p p p p pp p β αα α β α β αα αβ α β αα αβ α ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + ++ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ = + ++ ⎨ ⇔ = ⎪ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + ++ " " " " """""""""""" # " " " " # "
→（月，B…,n)=(a,4,…,a)P→基变换公式 在基变换公式 (B,B,…,Bn)=(a,a2,…,an)P 中，矩阵P称为由基a,a,…,an到基B,B,…,Bn的过渡矩阵。 过渡矩阵P是可逆的。 过渡矩阵P就建立了向量空间V中的两组基之间的关系，作为过渡矩阵，P具有 如下关系： (1)满足基变换公式的矩阵P的第j列是B,在基a,a2,…,a下的坐标。 (2)由于基是线性无关的，因而P是可逆矩阵。而且P是从4,4，…，a到 月，月，…，B的过渡矩阵。 6.坐标变换公式 定理设中的元素a,在基a,a,,a,的坐标为(x,x,,x）厂，在基 月，A…B下的坐标为（化'，x'…,x)'，若两个基满足关系式 (，B,…,n)=(a,a2,…,an) 则有坐标变换公式 x 证明 a=(a,a,…,a） =(,B…,B） Y I （B,B2,…,Bn)=(a,a2,…,an)P (a,a2…,aa）
84 ( )( ) 12 12 ,,, ,,, ⇒ = ββ β αα α " " n n P 基变换公式 在基变换公式 ( ) ββ β αα α 12 12 ,,, ,,, " " n n = ( ) P 中，矩阵 P 称为由基 1 2 ,,, α α α " n到基 1 2 ,,, β β β " n的过渡矩阵。 过渡矩阵 P 是可逆的。 过渡矩阵 P 就建立了向量空间 V 中的两组基之间的关系，作为过渡矩阵，P 具有 如下关系： （1） 满足基变换公式的矩阵 P 的第 j 列是 β j 在基 1 2 ,,, α α α " m下的坐标。 （2） 由于基是线性无关的，因而 P 是可逆矩阵。而且 P－1 是从 1 2 ,,, α α α " m到 1 2 ,,, β β β " m 的过渡矩阵。 6. 坐标变换公式 定理 设Vn 中的元素α ，在基 1 2 ,,, α α α " n 的坐标为 1 2 (,, ,)T n xx x " ，在基 1 2 ,,, β β β " n下的坐标为 1 2 ( ', ', , ')T n xx x " ，若两个基满足关系式 ( ) ββ β αα α 12 12 ,,, ,,, " " n n = ( ) P 则有坐标变换公式 1 1 2 2 ' ' , ' n n x x x x P x x ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ # # 或 1 1 2 2 1 ' ' . ' n n x x x x P x x − ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ # # 证明 ( )( ) 1 1 2 2 12 12 ' ' ,,, ,,, ' n n n n x x x x x x α αα α ββ β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∵" " # # ( )( ) 12 12 ,,, ,,, ββ β αα α " " n n = P ( )( ) 1 1 2 2 12 12 ' ' ,,, ,,, . ' n n n n x x x x P x x αα α αα α ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ∴ = ⎝⎠ ⎝ ⎠ " " # #
由于矩阵P可逆，所以 x 五、欧氏空间R“ 1.内积的定义及性质 定义设有n维向量x 称x+x乃2++x,yn为x与的内积 记做：〈x,y)· 即(x,y》=y++…+x 定义了内积的向量空间R”称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 部分 直到现在仍是科学 它的基本原 以《几何原 年前20年 百年前 理态是 一句箴言： 公元前300年左右，在托勘密王（公元前364前283）的请下 来到亚历山大， 长期在那里工作，他是一位温良敦厚的教育家 有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的 作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410-485）记栽， 托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有 共他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王 铺设的大道.”这句话后来成为传通千古的学习言
85 即 1 1 2 2 ' ' . ' n n x x x x P x x ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ # # 由于矩阵 可逆 所以 P , 1 1 2 2 1 ' ' ' n n x x x x P x x − ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ # # 。 五、欧氏空间 n R 1. 内积的定义及性质 定义 设有 维向量 n 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ # # 11 2 2 , n n 称 为 与 的内积 xy xy xy x y + + + " 记做： x, y 。 即 11 2 2 , n n x y xy xy xy = + ++ " 。 定义了内积的向量空间 n R 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 z 欧几里得： 欧几里德。 在差不多一百年前，几何就是 z 公元前330 年～前275 年，是 科书的一部分。 和定理直到现在仍是科学教 闻名于世——它的基本原理 古希腊数学家， 以 《几何原本》 一句箴言： 公元前 300 年左右，在托勒密王（公元前 364～前 283）的邀请下， 来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对 有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的 作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约 410～485）记载， 托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有 其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王 铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言
例设x=1,0,-1,0,y=1,2,3,4),求(x,y) 解(x,y)=1×1+0×2+(-)×3+0×4=-2。 说明如果x,y都是列向量，内积可用矩阵记号表示为：(x,y以=x'y ◆内积的运算性质 其中x,以，：为n维向量，为实数 )x)=(少，x (2)xy)=(xy） (3)(x+y,=(x,+(y) (4)(x,x)≥0，且当x≠0时有(xx>0. (⑤)柯西-施瓦茨不等式：(x,y少≤x,xy,y以 2.向量的长度及性质 定义设x=(任，出…x,令=压，=F=居+写++天，称H为n 维向量x的长度（或范数）。 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0,当x=0时，=0， 2.齐次性x=x 3.三角不等式x+sx+川。 单位向量及n维向量间的夹角： ()当x=1时，称x为单位向量： ()当k+0,b川≠0时，0=cosx (x.y) 称为n维向量x与)的夹角。 例求向量a=(1,2,2,3)'与B=(3,1,5,1)的夹角 解：0s0=a,段-18，巨 1apl3W2.6=2
86 例 (1,0, 1,0) , (1, 2,3, 4) , , . T T 设 求 x =− = y xy 解 x y, 1 1 0 2 ( 1) 3 0 4 2 = × + × + − × + × =− 。 说明 , , :, . T 如果 都是列向量 内积可用矩阵记号表示为 x y xy y = x ◆内积的运算性质 其中 为 维向量 为实数 xyz n ,, , : λ (1) , , x y yx = (2) , , λ λ x y xy = (3) , , , x += + yz xz yz (4) , 0, 0 , 0. xx x xx ≥≠ > 且当 时有 ( ) 2 5 , ,, 柯西-施瓦茨不等式: x y xx yy ≤ 2. 向量的长度及性质 定义 1 2 ( , , , ), T n 设 令 x xx x = " 22 2 1 2 , , T n x = = = +++ xx xx x x x " 称 x 为 n 维向量 x 的长度（或范数）。 向量的长度具有下述性质： 1.非负性 当时 当时 xxxx ≠ 0 , 0; 0 , 0; >= = 2.齐次性 λ λ x = x ; 3.三角不等式 x +≤ + yxy 。 单位向量及n 维向量间的夹角： ( ) 1 1, 当 时称 为 x = x 单位向量； ( ) , 2 0, 0 , arccos|| |||| || x y x y x y 当 时 ≠≠ = θ 称为 维向量 与 的 n xy 夹角。 例 ( ) () 1,2,2,3 3,1,5,1 . T T 求向量 与 的夹角 α β = = 解 , 18 2 cos 326 2 α β θ α β === ⋅ ∵