关；反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。 (部分相关，则整体相关：整体无关，则部分无关)。 (4)线性相关性的判定 定理对于向量组在a,a,…,an,记A(g,a4,…,a),则 1.A线性相关的充要条件是R(4)<m。 2.A线性无关的充要条件是R(A)=m。 证明：1.向量组A线性相关充要条件是Ax-0有非零解，Ax=0有非零解的充要 条件是R(Am 2.向量组A线性无关充要条件是Ax=0只有零解，A=0只有零解的充要 条件是R(A)=m 证毕 定理的三个推论： 推论1设A为阶方阵，则4的列向量组线性相关的充要条件是4的行列式等于零。 推论2当m>n时，m个n维向量组成的向量组a,4,,a。一定线性相关。 推论3设有两个向量组 T:c,=(a42…,a)',U=1,2,m) 7:月=a4,0g4…,ay,0=l2…,m 若向量组T线性无关，则向量组T,也线性无关。 若向量组T,线性相关，则向量组T也线性相关。 例n维向量组 g=(1,0…,0),e2=(01…,0,…,en=(0,0…,0 称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性， 解法1n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e,e,,e,)是n阶单位矩阵。即 R(E)等于向量组中向量个数，故由定理知此向量组是线性无关的
72 关；反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A也线性无关。 （部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）。 (4) 线性相关性的判定 定理 对于向量组 1 2 ,,, A： ，记 α α α " m A=(α1 2 ,,, α α " m ) ，则 1． A线性相关的充要条件是 R( ) A m< 。 2． A线性无关的充要条件是 R( ) A m= 。 证明: 1.向量组 A 线性相关充要条件是 Ax=0 有非零解, Ax=0 有非零解的充要 条件是 R(A)<m. 2.向量组 A 线性无关充要条件是 Ax=0 只有零解, Ax=0 只有零解的充要 条件是 R(A)=m. 证毕. 定理的三个推论： 推论 1设 为 阶方阵，则 的列向量组线性相关的充要条件是 的行列式等于零。 An A A 推论 2 当m n > 时，m 个n 维向量组成的向量组 2 ,,, α1 α α " m一定线性相关。 推论 3 设有两个向量组 1 12 : ( , , , ) ,( 1, 2, , ) T T aa a j m α j j j rj = = " … 2 12 1 : ( , , , , , , ) ,( 1, 2, , ) T T aa aa a j m β j j j rj r j nj = = "" … + 若向量组T1线性无关，则向量组T2 也线性无关。 若向量组T2 线性相关，则向量组T1也线性相关。 例 n 维向量组 1 2 ( )( ) ( ) 1,0, ,0 , 0,1, ,0 , 0,0, ,1 TT T n ee e == = " "" " ， 称为 维单位坐标向量组 讨论其线性相关性 n , . 解 法 1 n 维单位坐标向量组构成的矩阵 1 2 (, , , ) E ee e = " n 是n 阶单位矩阵。即 R( ) E 等于向量组中向量个数，故由定理知此向量组是线性无关的
法2利用线性相关性的定义。 0) 2 例设a= =2 a4试讨论向量组a,a,a,及a,a,的线性相关 ( 5 7 性。 分析对矩阵a,a,a,施行行初等变换，化为行阶梯形矩阵，便可同时看出 矩阵(a,a,a)及(a,a的秩，利用定理即可得出结论 10引 解(a,,)=124 i57000 R(a,a2,a,》=2<3,向量组a,a,a,线性相关： R(a,4,)》=2,向量组a,a,线性无关 定理向量组a,a2,an(m之2)饯性相关的充要条件是a,a2,an中至少 有一个向量可由其它m-1个向量线性表示 证明必要性设4，a,…,an线性相关，则存在不全为零的数k,k,…,k,使得 ka1+k342+…+kam=0 不妨设k≠0， 即a,可由a,a,…&n线性表示 充分性设α，a,,a中至少有一个向量可由其他m-1个向量线性表示， 不妨设an可由a,a,…,a表示，则 a=ka+kaz+.+km-m- 移项得 ka+kaz+...+kma-a=0 所以，存在k,k,…,k1,-1不全为0
73 法 2 利用线性相关性的定义。 例 设 12 3 102 124 157 αα α ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，，，试讨论向量组 123 12 α ,, , αα αα 及 的线性相关 性。 分析 123 对矩阵 施行行初等变换 ( , , ), , α α α 化为行阶梯形矩阵, 便可同时看出 123 12 矩阵 及 的秩 利用定理即可得出结论 (, , )(, ) , . α αα αα 解 123 102 102 (, , ) 124 022 157 000 ~ r ααα ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ … 123 123 ∴R(( , , )) 2 3, , , α αα ααα = < 向量组 线性相关； 12 12 R(( , )) 2, , . α α αα = 向量组 线性无关 定理 12 12 , , , ( 2) , , , 向量组 线性相关的充要条件是 中至少 α α α αα α … … m m m ≥ 有一个向量可由其它 个向量线性表示 m −1 . 证明 必要性 1 2 ,,, , 设 线性相关 α α α " m 1 2 ,,, , m 则存在不全为零的数 使得 kk k " 11 2 2 0, m m kk k α + α α ++ = " 1 不妨设k ≠ 0, 2 3 1 23 11 1 ( ) ( ) ( ) , m m k k k kk k 则 α =− +− + +− αα α " 1 23 ,, . 即 可由 线性表示 α αα α " m 充分性 1 2 ,,, 设 中至少有一个向量可由其他 α α α " m m −1个向量线性表示， 不妨设α m可由 12 1 ,,, α α α " m− 表示，则 m mm 11 2 2 1 1 α = kk k αα α + ++ " − − 移项得 11 2 2 1 1 0 mm m kk k α + α αα ++ − = " − − 所以，存在 12 1 , , , ,1 m kk k " − − 不全为 0
所以a,a,…,an线性相关 定理设向量组A:a,a,…,an线性无关，而向量组B:a,,a,b线性相关，则 向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。 证明组B:a,…,a,b线性相关 .存在不全为零的数k,…,k,k,使得 ka+k凸+…+knan+kb=0 a,4,,Q线性无关k≠0， b=会4+会a+4(是 设b=,a+a2+…+九4n b=4a+山a3+…+4naw (4-)a+(42-2)a2+…+(4n-n)an=0, a,4,…,a线性无关4=，…，4n= 三、向量组的秩 1.向量组的等价 定义设有两个向量组A:a,a2,…,an与B:月，B,…,Bn若向量组B中 的向量均可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示： 若向量组A与向量组B可以相互线性表示，则称向量组A与向量组 B等价 性质：反身性、对称性、传递性 线性表示中的系数矩阵K 设有两个向量组A:a,a2,,an;B,b,…,b,B能由A线性表示，即对每个 向量b,=1,2,…,S)存在数k,k…k’使
74 所以 1 2 ,,, α α α " m线性相关 定理 设向量组 1 2 :,,, A α α α " m 线性无关，而向量组 1 :,, , B m α " α b 线性相关，则 向量b 必能由向量组 A线性表示，且表示式是唯一的。 证明 1 :,, , , ∵ " 组 线性相关 B b α α m 1, , ,, m ∴存在不全为零的数 使得 k kk " 11 2 2 0 m m k k k kb α + α α ++ + = " 1 2 , , , , 0, m ∵ " α α α 线性无关 ∴k ≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ); m m k k k b kk k ∴ =− +− + +− α α α " 11 2 2 , m m 设b = λα λα λ α + ++ " 11 2 2 , m m b = + ++ μ α μα μ α " 1 11 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, μ − λα μ λα μ λ α + − ++ − = " m mm 12 1 1 ,,, , ,, . ∵" " α α α μλ μ λ m mm 线性无关 ∴ = = 三、向量组的秩 1. 向量组的等价 定义 设有两个向量组 1 2 : , , , A α α α " m 1 2 : , , , . 与 若向量组 B β β β " n B 中 的向量均可由向量组 A 线性表示, 则称向量组 B 可由向量组 A 线性表示； 若向量组 A 与向量组 B 可以相互线性表示, 则称向量组 A 与向量组 B 等价. 性质：反身性、对称性、传递性 线性表示中的系数矩阵 K 设有两个向量组 1 2 12 : , , , ;: , , , A Bb b b α α α " " m s ，B 能由 A线性表示，即对每个 向量 ( 1,2, , ) j bj s = " 存在数 1 2 , , j j mj kk k " ，使
b=ka+k42+…+kman b2=k2%+k2a3+…+km20 b,=ka1+k22+…+kmam b,=k,a1+k.%2+…+kma (6,6,…,b)=(a,4,…,an)K kk2…ka kk2…k K- k1k2…k 若矩阵C=AB,设Cnm,A,Bn bb2…bn bb2…bm 则C的列向量组能由的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵 类似地，若Cn=AnBn aa2…a）B y …a八Br C的行向量组能由的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵 定理若向量组T:，，，可由向量组2：月，月，，B线性表示，且m>n 则T线性相关。 推论1若向量组T:4,4,,an可由向量组T,:月，月，…，B线性表示，且T线性 无关，则m≤n。 推论2若两个线性无关向量组等价，则它们所包含的向量的个数相等
75 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 11 2 2 11 2 2 m m m m j j j mj m s s s ms m bk k k bk k k bk k k bk k k α α α α α α α α α α α α = + ++ = + ++ = + ++ = + ++ " " """" " """" " 12 1 2 (, , , ) ( , , , ) s m bb b K " " = α α α 11 12 1 21 22 2 1 2 s s m m ms kk k kk k K kk k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " ## # " , ,,, 若矩阵 设 C AB C A B = mn ms sn × ×× 11 12 1 21 22 2 12 1 2 1 2 (,,,)(, ,, ) n n n s s s sn bb b bb b cc c bb b αα α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " " ## # " 则 的列向量组能由 的列向量组线性表示 为这一表示的系数矩阵 CA B, . , 类似地 若C AB mn ms sn × ×× = 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 T T s T T s T T m s m m ms aa a aa a aa a γ β γ β γ β ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ = ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ " " # # ## # " CB A 的行向量组能由 的行向量组线性表示 为这一表示的系数矩阵 , . 定理 若向量组 1 2 :,,, T α1 α α " m 可由向量组 2 2 :,,, T β1 β β " n线性表示，且m n > ， 则T1线性相关。 推论 1 若向量组 1 2 :,,, T α1 α α " m 可由向量组 2 2 :,,, T β1 β β " n线性表示，且T1线性 无关，则m n ≤ 。 推论 2 若两个线性无关向量组等价，则它们所包含的向量的个数相等
定理矩阵A经初等行变换化为矩阵B,则A与B的任何对应的列向量构成的 列向量组有相同的线性组合关系。 2.最大线性无关组 定义设有向量组A:C,如果在向量组中存在r个向量a,a2,…,a,满足 ()向量组A,a,a,…,a,线性无关 (2)向量组4中任意r+1(若有个向量线性相关， 则称向量组4是向量组的一个最大线性无关组，（简称最大无关组） 定义向量组A,中所含向量的个数称为向量组的秩 向量组A:a,a,…,a的秩记作R(a,a,…,an),R(4) 只含0响量的向量组的秩规定为0 证明：a,4,a,是向量组的一个最大无关组 (100100 证明A=(a,a,a4)=010-010 111(001 ∴R(4)=3,∴向量组a,4,a,线性无关 又：任意4个向量构成的向量组线性相关， 4,4,a,是一个最大无关组 3.矩阵的秩与向量组的秩的关系 定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩， 证设A=(a,4,,abR(A)=r,并设阶子式D,≠0.则D,所在的r列线性无关 又由A中所有r+1(若有)阶子式均为零，知A中任意r+I(若有)个列向量都 线性相关
76 定理 矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B，则 A 与 B 的任何对应的列向量构成的 列向量组有相同的线性组合关系。 2. 最大线性无关组 定义 1 2 :, ,,,, 设有向量组 如果在向量组 中存在 个向量 满足 A Ar αi r αα α " 0 12 (1) : , , , ; 向量组 线性无关 A α α α " r (2) 1( ) ; 向量组 中任意 若有 个向量线性相关 A r + 0 则称向量组 是向量组 的一个最大线性无关组,简称最大无关组 A A ( ). 定义 0 向量组 中所含向量的个数 称为向量组的秩 A r . 12 12 : , , , ( , , , ), ( ). 向量组 的秩记作 A a a a Ra a a RA " " m m 只含 向量的向量组的秩规定为 0 0. 例 设 123456 1 3 0 0 2 12 0 , 5 , 1 , 0 , 1 , 71 1 4 1 1 2 29 aaaaaa ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ====== ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ 134 证明： 是向量组 的一个最大无关组 aaa A ,, . 证明 134 100 100 (, , ) 0 1 0~0 1 0 111 001 A aaa ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∵ 134 ∴RA a a a ( ) 3, , , , = ∴向量组 线性无关 又 任意 个向量构成的向量组线性相关 ∵ 4 , 134 ∴aaa ,, . 是一个最大无关组 3. 矩阵的秩与向量组的秩的关系 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 , . 证 A ( , , , ), (A) , 0. 1 2 m r 设 并设 阶子式 = =≠ aa a R r r D " . 则 所在的 列线性无关 D r r 又由 中所有 若有 阶子式均为零 知 中任意 若有 个列向量都 A 1( ) , A 1( ) r r + + 线性相关