注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成立例如, y = x,x e[-2,2];在[-2,2]上除 f'(0)不存在外,满足罗尔定理的一切条件,但在区间[-2,2]内找不到一点能使 f'(x) = 0.1 - x, x e (0,1)又例如,，y=?[0, x= 0y = x, x e[0,1]
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1 证明方程xs-5x+1=0 有且仅有一个小于1的正实根证 设 f(x)=x5 -5x+1,则 f(x)在[0,1]连续且 f(0) = 1, f(1) = -3.由介值定理日xE(0,1),使 f(x)=0. 即为方程的小于1的正实根设另有xi =(0,1),x ±xo, 使 f(xi)= 0:f(x)在 xo,x, 之间满足罗尔定理的条件,: 至少存在一个(在 xo,x, 之间),使得 f()=0但 f'(x)= 5(x*-1)<0,(xE(0,1)) 矛盾，:为唯一实根
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根