第一节拉格朗日定理和函数的单调性
第一节 拉格朗日定理和函数的单调性
一、罗尔(Rolle)定理罗尔 (Rolle）定理 如果函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,2在开区间(α,b)内可导,且在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b), 那末在(a,b)内至少有一点(a<<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零,即f ()= 0例如, f(x)=x2 -2x-3 =(x-3)(x+1)在[-1,3]上连续，在(-1,3)上可导,且 f(-1)= f(3)= 0.: f'(x) = 2(x -1), 取 = 1, (1 e(-1,3)) f'()= 0
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
y几何解释：Cy=f(x)在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的.0S152 b xa物理解释：变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证 ：f(x)在[a,b]连续,必有最大值M 和最小值 m(1) 若 M = m.则 f(x)= M.由此得 f'(x)=0. Ve (a,b),都有 f'()=0.(2) 若 M ± m.: f(a)= f(b)最值不可能同时在端点取得设 M ± f(a),则在(a,b)内至少存在一点使 f()= M: f(E+△x)≤ f(E), : f(E+Ax) - f(E)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
f(+△r)- f()若 △x >0，则有≤0;Arf( +△x)- f(E)≥ 0:若 Ax<0,则有Arf(+Ar)- f(E).:. f'() = lim≥ 0;AxrAr-→-0f(+△r) - f(E)f*()= lim≤0;：f'(E)存在,AxAr-→+0:. f'()= f*(E). 只有 f'()= 0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0