在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 AC-B2=12×(-6)<0,∴.f(1,2)不是极值： 在点(-3,0)处A=-12,B=0,C=6, 4C-B2=-12×6<0,.f(-3,0)不是极值； 在点(-3,2)处A=-12,B=0,C=-6 AC-B2=-12×(-6)>0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x.y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 A B C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上为 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. f (x, y) 6x 6, xx f (x, y) 0, xy f (x, y) 6y 6 y y A 12, B 0, C 6, 12 6 0, 2 AC B f (3,0) A 12 , B 0, C 6 f (3,2) 31 12 ( 6) 0, 2 AC B A 0, 在点(1,2) 处 不是极值; A 12, B 0, C 6 12 ( 6) 0, f (1,2) 2 AC B A B C
二、多元函数的最大值与最小值 依据 函数f在闭域上连续 函数在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时， f(P)为极小值一>f(P)为最小值 (大) (大) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的最大值与最小值 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P)为极小值 f (P)为最小值 (大) (大) 依据
例7.7.6某厂要用铁板做一个体积为8m3的有盖长方体 水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？ 解：设水箱长，宽分别为x,ym,则高为，m, 则水箱所用材料的面积为 4=20w+y÷+x÷)=20++)8 4，=2y-)=0 令 L4,=2(x-)=0 得驻点(2,2) 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽、高都为2 时，水箱所用材料最省 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.6 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为8 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体 水箱,问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省? m, 8 x y A 2 xy x y y 8 x y x 8 x y x y 8 8 2 0 0 y x 2( 2 ) 0 8 x x A y 2( 2 ) 0 8 y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽、高都为 时, 水箱所用材料最省. 3 m ( 2 , 2) 2
三、条件极值与拉格朗日乘数法 无条件极值：对自变量只有定义域限制 极值问题 条件极值：对自变量除定义域限制外 还有附加条件限制 条件极值的求法 1把条件极值转化为无条件极值例如， 在条件2(xy+yz+xz)=a2下，求体积V=xyz的极值 鞋 a2-2x 2= 2(x+y) 求一元函数Y= xy(a2-2xy) 的无条件极值 2(x+y) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值与拉格朗日乘数法 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 1.把条件极值转化为无条件极值 求一元函数 的无条件极值. 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有附加条件限制 例如 , 转 化 在条件 下, 2 2(xy yz xz) a 求体积V xyz 的极值 ; 2( ) 2 2 x y a xy z 2( ) ( 2 ) 2 x y xy a xy V