更多考研资料分享+qq8109586341989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（每小题3分，满分21分.把答案填在题中横线上.）(1)limxcot2x:(2)( tsin tdt =(3）曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是(4)设f(x)=x(x+1)(x+2)..(x+n),则f(0)=(5)设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2ff(t)dt,则f(x)=[a+bx2,x≤0在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是(6)设f(x)=sin bxx>0x(7）设tany=x+y，则dy=二、计算题（每小题4分，满分20分.）(1)已知y=arcsine-/,求ydx(2) 求[-J xln?x-(3)求lim(2sinx+cosx)*[x=In(1+t),±dyd"y（4）已知求dxdx[y=arctant,(5）已知f(2)=,F(2)=0及f(x)dx=1,求[x f"(2x)dx三、选择题（每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）1(1）设x>0时，曲线y=xsin-(X（A）有且仅有水平渐近线(B）有且仅有铅直渐近线(C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线(2）若3a2-5b<0，则方程x+2ax+3bx+4c=0(更多考研资料分享+qq810958634
1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(每小题 3 分,满分 21 分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim cot 2 x x x → = ＿＿＿＿＿＿. (2) 0 t tdt sin π = ∫ ＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线 0 ( 1)( 2) x y t t dt = −− ∫ 在点(0,0) 处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4) 设 f x xx x x n ( ) ( 1)( 2) ( ) = + +⋅⋅+ ,则 f ′(0) =＿＿＿＿＿＿. (5) 设 f x( ) 是连续函数,且 1 0 f x x f t dt ( ) 2 () = + ∫ ,则 f x( ) = ＿＿＿＿＿＿. (6) 设 2 , 0 ( ) sin , 0 a bx x f x bx x x + ≤ = > 在 x = 0 处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设 tan yxy = + ,则 dy = ＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题 4 分,满分 20 分.) (1) 已知 arcsin x y e− = ,求 y′ . (2) 求 2 ln dx x x ∫ . (3) 求 1 0 lim(2sin cos ) x x x x → + . (4) 已知 2 ln(1 ), arctan , x t y t = + = 求 dy dx 及 2 2 d y dx . (5) 已知 1 (2) , (2) 0 2 f f = = ′ 及 2 0 f x dx () 1 = ∫ ,求 1 2 0 x f x dx ′′(2 ) ∫ . 三、选择题(每小题 3 分,满分 18 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 x > 0 时,曲线 1 y x sin x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若 2 3 50 a b − < ,则方程 5 3 x ax bx c + + += 2 3 40 ( ) 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634（A）无实根(B）有唯一实根（C）有三个不同实根(D）有五个不同实根≥≤x≤<")与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体(3）曲线y=cosx(-22积为()元元(C) (D)元2(A)(B) 元22(4)设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处()(A）必取极大值(B）必取极小值(C）不可能取极值(D）是否取极值不能确定()(5）微分方程y"-y=e*+1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)(A)ae+b(B) axe"+b(C)ae+bx(D)axe+bx(6）设f(x)在x=α的某个领域内有定义,则f(x)在x=α处可导的一个充分条件是（/(A)lim hLf(a+f(a)l存在hf(a+2h)-f(a+h)lim存在(B)hh-0f(a+h)-f(a-h)存在(C)lim2hh→0(a)-f(a-h)存在(D)limh0四、(本题满分6分)求微分方程xy+(1-x)y=e2*(0<x<+o)满足y(l)=0的解.五、(本题满分7分)设f(x)=sinx-(x-1)f(t)dt,其中f为连续函数，求f(x)六、(本题满分7分)X证明方程Inx=“V1-cos2xdx在区间(0,+)内有且仅有两个不同实根2七、(本大题满分11分）x+1，填写下表：对函数y:x2更多考研资料分享+qq810958634
(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线 cos ( ) 2 2 yx x π π = − ≤≤ 与 x 轴所围成的图形,绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体 积为 ( ) (A) 2 π (B) π (C) 2 2 π (D) 2 π (4) 设两函数 f x( ) 及 g x( ) 都在 x a = 处取得极大值,则函数 Fx f xgx () ()() = 在 x a = 处 ( ) (A) 必取极大值 (B) 必取极小值 (C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定 (5) 微分方程 1 x y ye ′′ −= + 的一个特解应具有形式(式中a b, 为常数) ( ) (A) x ae b + (B) x axe b + (C) x ae bx + (D) x axe bx + (6) 设 f x( ) 在 x a = 的某个领域内有定义,则 f x( ) 在 x a = 处可导的一个充分条件是( ) (A) 1 lim [ ( ) ( )] h hfa fa →+∞ h + − 存在 (B) 0 ( 2) ( ) lim h fa h fa h → h +− + 存在 (C) 0 ( )( ) lim h 2 fa h fa h → h +− − 存在 (D) 0 () ( ) lim h fa fa h → h − − 存在 四、(本题满分 6 分) 求微分方程 2 (1 ) x xy x y e ′ +− = (0 ) < < +∞ x 满足 y(1) 0 = 的解. 五、(本题满分 7 分) 设 0 ( ) sin ( ) ( ) x f x x x t f t dt =−− ∫ ,其中 f 为连续函数,求 f x( ) . 六、(本题满分 7 分) 证明方程 0 ln 1 cos 2 x x xdx e π =− − ∫ 在区间(0, ) +∞ 内有且仅有两个不同实根. 七、(本大题满分 11 分) 对函数 2 x 1 y x + = ,填写下表： 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634单调减少区间单调增加区间极值点极值凹(U)区间凸(n)区间拐点渐近线八、（本题满分10分）设抛物线y=ax~+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线1x=1所围图形的面积为为=，试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转专一周而成的旋转体的体积V3最小。更多考研资料分享+qq810958634
单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹( )区间 凸( )区间 拐点 渐近线 八、(本题满分 10 分) 设抛物线 2 y ax bx c = ++ 过原点,当0 1 ≤ ≤x 时, y ≥ 0 ,又已知该抛物线与 x 轴及直线 x =1所围图形的面积为 1 3 ,试确定 abc , , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586341989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（每小题3分，满分21分.）(1)【答案】！20【解析】这是个0型未定式，可将其等价变换成型，从而利用洛必达法则进行求解，Ocos2xx方法一：limxcot2x=limxlimcos2xsin2xr-0 sin2xr-01.1x洛lim=limx-02cos2x-2x-0sin2xcos2x方法二：lim xcot 2x = lim xsin2xr2x2x_111-limcos2x=-lim2x→0 sin2x2x→0sin2x2sinx是两个重要极限中的一个，limsinx=1.【相关知识点】lim10x4x(2）【答案】元【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解，"tsintdt=["td(-cost) "=[-tcost] -f(-cost)dt=元+0+[sint。=元+(0-0)=元(3）【答案】y=2x【解析】要求平面曲线的切线，首先应求出该切线的斜率，即f（xo）这是一个积分上限函数，满足积分上限函数的求导法则，即y=(x-1)(x-2)，由y在其定义域内的连续性,可知y。=(0-1)(0-2)=2所以，所求切线方程为y-0=2(x-0)，即y=2x（4）【答案】n!【解析】方法一：利用函数导数的概念求解，即()(0) = m++1)+2)++)-0f'(0) = limxx→0xx→0=lim(x+1)(x+2).....(x+n)=1.2.....n= n!.方法二：利用其导数的连续性，由复合函数求导法则可知，f'(x)=(x+1)(x+2)....(x+n)+x-1.(x+2).....(x+n)+...+x(x+1)(x+2)...(x+n-1).1,更多考研资料分享+qq810958634
1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(每小题 3 分,满分 21 分.) (1)【答案】 1 2 【解析】这是个0⋅∞ 型未定式,可将其等价变换成 0 0 型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一： 00 0 cos 2 lim cot 2 lim lim cos 2 xx x sin 2 sin 2 x x xx x x →→ → x x = = ⋅ 0 0 1 1 lim lim x x sin 2 2cos 2 2 x → → x x = 洛 = . 方法二： 0 0 cos 2 lim cot 2 lim x x sin 2 x xx x → → x = 0 0 12 121 lim cos 2 lim . 2 sin 2 2 sin 2 2 x x x x x → → x x = ⋅= = 【相关知识点】 0 sin limx x → x 是两个重要极限中的一个, 0 sin lim 1 x x → x = . (2)【答案】π 【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解, 0 t tdt sin π = ∫ [ ]0 0 0 td t t t ( cos ) cos ( cos )t dt π π π − =− − − ∫ ∫ 分部法 [ ]0 0 sin (0 0) t π = ++ = + − = π ππ . (3)【答案】 y x = 2 【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即 0 f x ′( ) . 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即 yx x ′ =− − ( 1)( 2) . 由 y′在其定义域内的连续性,可知 0 (0 1)(0 2) 2 x y = ′ =− −= . 所以,所求切线方程为 y x −= − 0 2( 0) ,即 y x = 2 . (4)【答案】n! 【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即 0 0 ( ) (0) ( 1)( 2) ( ) 0 (0) lim lim x x f x f xx x x n f → → x x − + +⋅⋅+ − ′ = = 0 lim( 1)( 2) ( ) 1 2 ! x x x xn nn → = + + ⋅ ⋅ + =⋅⋅ ⋅ = . 方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, fx x x xn x x xn ′( ) ( 1)( 2) ( ) 1 ( 2) ( ) = + + ⋅ ⋅ + + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + + + xx x x n ( 1)( 2) ( 1) 1 + + ⋅ ⋅ +−⋅ , 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634所以f'(0)=(0+1)(0+2).....(0+n)+0+..+0 =1.2.....n=n!.(5）【答案】x-1【解析】由定积分的性质可知，[f(t)dt和变量没有关系，且f(x)是连续函数，故°f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆，令【f(t)dt=a，则有恒等式f(x)=x+2a，两边0到1积分得J" f(x)dx = f(x+2a)dxaα = f(x+2a)dx = ['xdx+ 2al’dx =+ 2a[x]。即+2a，因此f(x)=x+2a=x-1解之得a=2(6）【答案】a=b【解析】如果函数在x。处连续，则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等，由函数连续性可知f.(O)=f(O)=a+b.0=a. sin bx = lim ssin bx.b=b limsin bx=bf (0) = lim而bxbxxx-→0*→0x→0*如果f(x)在x=0处连续,必有f.(O)=f(0),即a=bdx(7）【答案】(x+y)?【解析】这是个隐函数，按照隐函数求导法，两边微分得sec2y·dy=dx+dydxdxdx所以dy:（x+y±0).secy+i"tany"(x+y)二、计算题（每小题4分，满分20分.）(1）【解析】令u=e-，=-x，则y=arcsine-=arcsinu，由复合函数求导法则，111-1y'=(arcsinu)"e".y'2/xYi-u?Vi-u?Yi-u?1-G.-1即12xV1-e-2Vz更多考研资料分享+qq810958634
所以 f n ′(0) (0 1)(0 2) (0 ) 0 0 = + + ⋅ ⋅ + ++ + =⋅⋅ ⋅ = 12 ! n n . (5)【答案】 x −1 【解析】由定积分的性质可知, 1 0 f t dt ( ) ∫ 和变量没有关系,且 f x( ) 是连续函数,故 1 0 f t dt ( ) ∫ 为一常数,为简化计算和防止混淆, 令 1 0 f t dt a ( ) = ∫ ,则有恒等式 fx x a () 2 = + ,两边 0 到 1 积分得 1 1 0 0 f x dx x a dx () ( 2) = + ∫ ∫ , 即 [ ] 1 1 11 1 2 0 0 00 0 1 ( 2) 2 2 2 a x a dx xdx a dx x a x =+ = + = + ∫ ∫∫ 1 2 2 = + a , 解之得 1 2 a = − ,因此 fx x a x () 2 1 =+ =− . (6)【答案】a b = 【解析】如果函数在 0 x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知 f f ab a (0) (0) 0 − = = +⋅= . 而 00 0 sin sin sin (0) lim lim lim xx x bx bx bx f bb b x bx bx + →→ → ++ + = = ⋅=⋅ = , 如果 f x( ) 在 x = 0 处连续,必有 f f (0) (0) − + = ,即a b = . (7)【答案】 2 ( ) dx x y + 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得 2 sec y dy dx dy ⋅=+ , 所以 22 2 sec 1 tan ( ) dx dx dx dy y y xy = = = + + ,( x y + ≠ 0 ). 二、计算题(每小题 4 分,满分 20 分.) (1)【解析】令 x u e− = , v x = − ,则 arcsin arcsin x ye u − = = ,由复合函数求导法则, 22 2 1 1 11 (arcsin ) 11 1 2 v v y u u ev e uu u x − ′′ ′ ′ = = ⋅= ⋅⋅= ⋅⋅ −− − , 即 2 1 1 1 2 x x y e x e − − − ′ = ⋅⋅ − . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634