考研数学历年真题：2011考研数学（一）真题及其解析

设随机变量X与Y的概率分布分别为X01P/1/32/3Y0-1P1/31/3/1/3且P(I）求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II）求Z=XY的概率分布；(III）求X与Y的相关系数Pxy·（23）（本题满分11分）设X,X2,,X,为来自正态总体N(）的简单随机样本，其中已知，>0未知.X和S?分别表示样本均值和样本方差(I）求参数?的最大似然估计量？：(II) 计算 E(c)和 D(α).2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X 0 1 P 1/ 3 2 / 3 Y −1 0 1 P 1/ 3 1/ 3 1/ 3 且   2 2 P X Y = =1． (I) 求二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布； (II) 求 Z XY = 的概率分布； (III) 求 X 与 Y 的相关系数  XY ． （23）（本题满分 11 分） 设 1 2 , , , X X X n 为来自正态总体 2 0 N( , )   的简单随机样本，其中 0 已知， 2   0 未知． X 和 2 S 分别表示样本均值和样本方差． (I) 求参数 2  的最大似然估计量 2   ； (II) 计算 2 E( )   和 2 D( )   ． 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1）【答案】(C).【解析】记y=x-1,y=1,y"=0，y,=(x-2),=2(x-2),"=2y, =(x-3),y=3(x-3),y"=6(x-3),y4 =(x-4)*,y,= 4(x-4),y"=12(x-4),y"=(x-3)P(x)，其中P(3)±0，Jx=3=0，在x=3两侧，二阶导数符号变化，故选(C).(2）【答案】(C).【解析】观察选项：（A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在x=1处，故(A)，(B)错误；因为(a)单调减少，lima,=0，所以a,≥0，所以2α,为正项级数,将x=2代入幂级数得≥a,，而已知S.-之a.无界，故原幂级数在x=2k=lneln=l处发散，(D)不正确。当x=0时，交错级数(-1)"α,满足莱布尼茨判别法收敛，故x=0n=l时≥(-1)"α,收敛。故正确答案为(C)。n=/(3）【答案】（A）.Oz【解析】lo.0)= f(x).ln f()lo.0)= f(0)In f(0)=0,axOzf(y)ko,0) = f(x).(o,0)=F(0)=0,故f(0)=0,yf(y)a22Asl(0.0)=f"(x)-lnf(y)(o.0)="(0)-lnf(0)>0,ax2az- L(O)(o.0)= [(x),(),B :-0oy0.o0axoyf(0)0?2loo=(o-orl0o.0)= F"(0)-[I(0)Pf"(O)f(O)f(y)又 AC-B2=[f"(O)P·In f(O)>0,故 f(O)>1, f"(O)>0(4）【答案】(B).元时，【解析】因为0<x<0<sinx<cosx<1<cotx,4又因lnx是单调递增的函数，所以Insinx<lncosx<Incotx.故正确答案为(B)

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上． (1)【答案】(C)． 【解析】记 1 1 1 y x y y = − = = 1, 1, 0   ， 2 2 2 2 y x y x y = − = − = ( 2) , 2( 2), 2,   3 2 3 3 3 y x y x y x = − = − = − ( 3) , 3( 3) , 6( 3),   4 3 2 4 4 4 y x y x y x = − = − = − ( 4) , 4( 4) , 12( 4) ,   y x P x  = − ( 3) ( ) ，其中 P(3) 0  ， 3 0 x y =  = ，在 x = 3 两侧，二阶导数符号变化， 故选(C)． (2)【答案】(C)． 【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间 的中心在 x =1 处，故(A)，(B)错误；因为 an 单调减少， lim 0 n n a → = ，所以 0 n a  ，所以 1 n n a  =  为正项级数，将 x = 2 代入幂级数得 1 n n a  =  ，而已知Sn= 1 n k k a =  无界，故原幂级数在 x = 2 处发散，(D)不正确．当 x = 0 时，交错级数 1 ( 1)n n n a  =  − 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x = 0 时 1 ( 1)n n n a  =  − 收敛．故正确答案为(C)． (3)【答案】(A)． 【解析】 (0,0) (0,0) | ( ) ln ( ) | (0)ln (0) 0 z f x f y f f x  =  = =    , (0,0) (0,0) ( ) | ( ) | (0) 0, ( ) z f y f x f y f y   =  = =   故 f (0) 0 = , 2 2 (0,0) (0,0) | ( ) ln ( ) | (0) ln (0) 0, z A f x f y f f x  = =  =      2 2 (0,0) (0,0) ( ) [ (0)] | ( ) | 0, ( ) (0) z f y f B f x x y f y f    = =  = =    2 2 2 2 2 (0,0) (0,0) ( ) ( ) [ ( )] [ (0)] | ( ) | (0) (0). ( ) (0) z f y f y f y f C f x f f y f y f  −    = =  = − =    又 2 2 AC B f f − =   [ (0)] ln (0) 0,  故 f f (0) 1, (0) 0    ． (4)【答案】(B)． 【解析】因为 0 4 x    时， 0 sin cos 1 cot     x x x ， 又因 ln x 是单调递增的函数，所以 lnsin lncos lncot x x x   ． 故正确答案为(B)．