1.3反插值法 已知单调连续函数y=f(x)在如下采样点处的函数值 1.01.4182.0 y1=f(x1) 20-0.804 求方程∫(x)=0在[2内根的近似值x,使误差尽可能小 分析 20 0.804 1.2 fo=x 1.0 1.4 1.8 2.0 2004-99 16
2004-9-9 16 1.3 反插值法 已知单调连续函数 y = f (x)在如下采样点处的函数值 i x 1.0 1.4 1.8 2.0 ( ) i i y = f x −2.0 −0.8 0.4 1.2 求方程 f (x) = 0在[1, 2]内根的近似值 * x , 使误差尽可能小 分析 i y −2.0 −0.8 0.4 1.2 0 i i f y = x − ( ) 1 1.0 1.4 1.8 2.0 ？
解对y=f(x)的反函数x=f(y)进行三次插值, 插值多项式为 问题求解 L3(y)=f(y) (y-y1)(y-y2)(y-y3) (y-y1)(y0-y2)(yo-y3) +f(y1) (-yo )(-y2(-y3) (y1-y)(y1-y2)(y1-y3) +f-l(,)(- yo)y-y1)(y-y3) (y2-y0(V2-y1)y2-y3) (y-y0(y-y1)(y-y2) (y3-y0)(y3-y1)(y3-y2) =1.675+0.3271y-003125y2-0.01302y 于是有 x=f(0)≈L3(0)=1675 2004-99 17
2004-9-9 17 解 对 y = f (x)的反函数 ( ) 1 x f y − = 进行三次插值, 插值多项式为 问题求解 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 3 1 2 3 0 1 3 y y y y y y y y y y y y L y f y − − − − − − = − ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 0 1 2 1 3 0 2 3 1 1 y y y y y y y y y y y y f y − − − − − − + − ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 2 0 2 1 2 3 0 1 3 2 1 y y y y y y y y y y y y f y − − − − − − + − ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 3 0 3 1 3 2 0 1 2 3 1 y y y y y y y y y y y y f y − − − − − − + − 2 3 = 1.675+ 0.3271y − 0.03125y − 0.01302y 于是有 (0) 3 (0) 1.675 * 1 = ≈ = − x f L
单值性条件不可缺少 单用 值反 性插 条值 件法 时 必 须 两 足 2004-99 18
2004-9-9 18 单值性条件不可缺少 用 反 插 值 法 时 必 须 满 足 单 值 性 条 件
2. Newton插值法 a Lagrange插值公式的特点: 形式对称 通常用于理论分析 当增加插值节点时,在计算实践中不方便 A∈0A∈A+f(x)(3)A∈A+f(x1)1(x) A∈A+f(xn)n(x) °分析Ln(x)与L(x)差别 2004-99 19
2004-9-9 19 2. Newton插值法 Lagrange 插值公式的特点： 形式对称 通常用于理论分析 当增加插值节点时，在计算实践中不方便 ) ~ ( ) ( 0 0 A ⇐ A+ f x l x ) ~ ( ) ( 1 1 A ⇐ 0 A ⇐ A+ f x l x ) ~ A A f (x )l (x LL ⇐ + n n • 分析 Ln+1(x) 与 Ln(x) 差别
21 Lagrange插值多项式间的关系 L(x)=f(x2)0≤i≤k L1(x)=f(x)0≤i≤k-1 (x)-Lk1(x)=A(x-x0)(x-x1)…(x-xk1) L(x)=∑f(x)1(x) (x-x0(x-x1)…(x-x-1)(x-x1)…(x-x) x (x1-x0Xx1-x1)…(x1-x21)(x1-x1)…(x1-xk x A=∑ 5f(x) 0(x1-x0)…(x1-x21)(x1-x1)…(x1-xk) i=0 k+1 A是Lx)的首项系数 2004-99 20
2004-9-9 20 2.1 Lagrange插值多项式间的关系 ⇒ = ≤ ≤ − = ≤ ≤ − ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) 0 1 L x f x i k L x f x i k k i i k i i Lk (x) − Lk−1(x) = ( )( ) ( ) − 0 − 1 − k−1 x x x x L x x ⇒ − − − − − − − − − − = = − + − + = ∑ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 i i i i i i i k i i k i k i k i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l x L x f x l x L L L L A ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 i i i i i i k i k i x x x x x x x x f x A − − − − = Σ − + = L L ( ) ( ) ' 1 0 k i i k i x f x + = = Σ ω A是Lk(x)的首项系数