插值多项式的构造方法 ■由于插值多项式的存在惟一性,无论是 用何种方法构造出的插值多项式,它们 均恒等,进而截断误差也都相同。 内容提要 Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题 2004-99 11
2004-9-9 11 二、插值多项式的构造方法 由于插值多项式的存在惟一性，无论是 用何种方法构造出的插值多项式，它们 均恒等，进而截断误差也都相同。 内容提要 Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题
1. Lagrange方法 1.1辅助问题 构造不超过n次的插值多项式l(x),使之满足插值条件 1(x,)=8 0j≠i (x-x0)(x-x1)…(x-x1=1)(x-x1)…(x-xn) x (x1-x0)(x1-x1)…(x1-x=1)( (x:-x (x-X on(i) 2004-99 12
2004-9-9 12 1. Lagrange 方法 1.1 辅助问题 构造不超过 n 次的插值多项式 l (x) i , 使之满足插值条件 = ≠= = =∆ j n j i j i l x i j i j , 0,1,2, , 01 ( ) δ L ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 i i i i i i i n i i n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − − − − − = − + − + L L L L ( ) ( ) ( ) ' 1 1 i n i n x x x x + + − = ω ω
1.1辅助问题 (x-x1)(x-x2)…(x-xn) X x1)(x-x2)…(x0-xn) Z,(r) (x-x0)(x-x2)…(x-xn) (x1-x0)(x1-x2)…(x1-xn) I,(x) (x-x0)(x-x1)…(x-x2) x-xo(x-x X-x 称n次插值多项式b(x)、1(x)、…、l(x)为关于节点{x}0的拉格 朗日插值基函数这些基函数仅依赖于插值节点{x:m, 2004-99 13
2004-9-9 13 1.1 辅助问题 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 1 2 0 n n x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − = L L ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 0 2 1 n n x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − = L L ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 − − − − − − − − = n n n n n n x x x x x x x x x x x x l x L L ……… 称 n 次插值多项式 ( ) 0l x 、 ( ) 1l x 、…、l (x) n 为关于节点{ }n i i x =0 的拉格 朗日插值基函数. 这些基函数仅依赖于插值节点{ }n i i x =0
1.2 Lagrange型插值公式 x)=∑f(x)(x)=∑f(x) X-x0 (x,) 上式是不超过n次的多项式,且满足所有的插值条件, 因而就是我们所需构造的插值多项式,称之为 Lagrange 插值多项式。 R, (x)=f(x)-L,(x) f() n+ ARn(x)=f(x)-Ln(x)≤m计10n1(x) 2004-99
2004-9-9 14 1.2 Lagrange型插值公式 ∑ ∑ = + + = ∆ − = = n i i n i n i n i n i i x x x x L x f x l x f x 0 ' 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω 上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件， 因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange 插值多项式。 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) x nf R x f x L x n n n n + ++ = − = ω ξ ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) 1 1 x nM R x f x L x n n n n + + ω + = − ≤
例题 已知∫(-2)=2,f(-1)=1,f(0)=2,f(0.5)=3,试选用合适的插值节点 通过二次插值多项式计算∫(-0.5)的近似值,使之精度尽可能高. 解依据误差估计式,选x0=-1,x1=0,x2=0.5为插值节点 拉格朗日插值基函数为 (x-0(x-0.5)2 1-0(-1-0.5)3 (x-0.5) (x+1)(x-0.5) 2(x+1)(x-0.5) (0+1)(0-0.5) l2(x) (x+1)(x-0)4 0.5+1)(0.5-0)3 二次插值多项式为 L2(x)=f(x)(x)+f(x1)1(x)+f(x2)l2(x)=l0(x)+21(x)+312(x) f(-0.5)≈L2(-0.5)=1×1(-0.5)+2×1(-0.5)+3×2(-0.5)=4/3 2004-99 15
2004-9-9 15 已知 f (−2) = 2, f (−1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3, 试选用合适的插值节点， 例题 通过二次插值多项式计算 f (−0.5) 的近似值, 使之精度尽可能高. 解 依据误差估计式, 选 x0 = −1, x1 = 0, x2 = 0.5 为插值节点 拉格朗日插值基函数为: ( 0.5) 32 ( 1 0)( 1 0.5) ( 0)( 0.5) ( ) 0 = − − − − − − − = x x x x l x 2( 1)( 0.5) (0 1)(0 0.5) ( 1)( 0.5) ( ) 1 = − + − + − + − = x x x x l x ( 1) 34 (0.5 1)(0.5 0) ( 1)( 0) ( ) 2 = + + − + − = x x x x l x 二次插值多项式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 1 2 2 L x = f x l x + f x l x + f x l x ( ) 2 ( ) 3 ( ) 0 1 2 = l x + l x + l x ( 0.5) ( 0.5) 1 ( 0.5) 2 ( 0.5) 3 ( 0.5) 4 / 3 f − ≈ L2 − = ×l0 − + ×l1 − + ×l2 − =