解因为所求切平面与已知平面平行，则切平面方程为x+y+z+D=0.由于球心到 切平面距离等于2，于是d=D=2,从而D=士25.故所求平面方程为： 3 x+y+z+2V5=0以及x+y+z-2W5=0. 习题6一4 1.求下列直线方程 (1)过点(4，一1,3)且平行于向量S=(2,1,S)的直线方程： (2)过点(-1,0,2)且垂直于平面2x-y+3z-6=0的直线方程： (3)过点(2，-3,5)和(2，-1,4)的直线方程. 2=y+1=3 解()所求直线方程为-4三 (2②)所求直线方程为x+1-上=-2 2-13 (3)直线的方向向量为s=(0,2-),则所求直线方程为一2=y+3_-5 02-1 2.用对称式方程及参数式方程表示直线 x-y+2z+1=0, 2x+z+2=0. 解取直线的方向向量s=n1×m2={1,-1,2}×{2,0,1}={-1,3,2}, 又求出直线上一点（仁1,0,0），故直线的对称式方程为： x+1=Y=三，参数式方程为： -132 x=-1-1,y=31,z=21. 3.求直线x+2=y-=+1与直线-2-y+1=的夹角。 -4 5=2=-1 解由于两条直线的方向向量分别为S=包，-4，}，52={5，-2，-1}.故它们的夹角 2 2 余弦c0sp= s2 12 ,从而夹角p=arccos ss,√8√30√ 15 4.求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解过点(-1,2,0做与平面垂直的直线L,其方程为x+1=y-2=二0， 2 参数方 1 -1 6
6 解 因为所求切平面与已知平面平行，则切平面方程为 x y z D 0 ．由于球心到 切平面距离等于２，于是 | | 2 3 D d ，从而 D 2 3 ．故所求平面方程为： x y z 2 3 0 以及 x y z 2 3 0 ． 习题 6－4 1．求下列直线方程 (1) 过点(4，－1，3)且平行于向量 s (2,1,5) 的直线方程； (2) 过点 (－1，0，2)且垂直于平面 2 3 6 0 x y z 的直线方程； (3) 过点(2，－3，5)和(2，－1，4)的直线方程． 解 (1) 所求直线方程为 4 3 1 2 5 x z y ； (2) 所求直线方程为 1 2 2 1 3 x y z ； (3) 直线的方向向量为 s (0, 2, 1) ，则所求直线方程为 2 3 5 0 2 1 x y z ． 2．用对称式方程及参数式方程表示直线 2 1 0, 2 2 0. x y z x z 解 取直线的方向向量 s n n 1 2 1, 1,2 2,0,1 1,3,2 ， 又求出直线上一点 1,0,0 ，故直线的对称式方程为： 1 1 3 2 x y z ，参数式方程为： x t y t z t 1 , 3 , 2 ． 3．求直线 1 2 1 4 y x z 与直线 2 1 1 5 2 1 x y z 的夹角． 解 由于两条直线的方向向量分别为 s , s 1 2 1, 4,1 5, 2, 1 ．故它们的夹角 余弦 1 2 1 2 12 2 cos 18 30 15 s s s s ，从而夹角 2 arccos 15 ． 4．求点( 1，2，0)在平面 x y z 2 1 0 上的投影． 解 过点( 1，2，0)做与平面垂直的直线 L ，其方程为 1 2 0 1 2 1 x y z ，参数方
程为x=-1+4y=2+21,2=-1,代入平面方程，得1=- ，于是交点为 522 33’3 5.求坐标原点关于平面6x+2y-9z+121=0的对称点. 解过已知点做与已知平面垂直的直线L,其方程为=)=三。，参数方程为 62-9 x=61,y=21,z=-9.由于坐标原点与对称点到平面的距离相等，则 d=1361+4+81t+121。 1121 V62+22+(-9y7V6+22+(-9y 解得t=-2,故所求对称点的坐标为(-12，-4,18). x=1+t 6求与两直线=少+2=：及少=-11平行，且过点，0.-1的平面方程 z=0 解两条直线的方向向量分别为S,={2,1,1},52={1,-1,0},又所求平面与两条直 线都平行，故取平面的法向量 i j k n=5×s2=211={1,1,-3} 1-10 从而所求平面方程为：(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0,即x+y-3z-4=0. 7.求过点(3,1，-2)且通过直线x-4=y+3-三 5=2=1 =二的平面方程， 解由于已知点P(3,1,-2)及直线上点Q(4,-3,0)均在平面上，又直线的方向向量 S={5,2,1,故取平面的法向量为 ii k n=s×PQ=5 21={8,-9,-22} 1-42 因而，所求平面方程为8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0,即8x-9y-22z-59=0. 8.已知平面心-y-:+5=0,问当n为何值时，平面与直线x-4=y+3=平行？ -2 解平面法向量n={n,-1,-1},直线方向向量s={1,-2,4,由于直线与平 面垂直，则ns=0,即{n,-1,-1}{1-2,4}=n-2=0→n=2. >
7 程为 x t y t z t 1 , 2 2 , ，代入平面方程，得 2 3 t ，于是交点为 5 2 2 , 3 3 3 ， ． 5. 求坐标原点关于平面 6 2 9 121 0 x y z 的对称点． 解 过已知点做与已知平面垂直的直线 L ，其方程为 6 2 9 x y z ，参数方程为 x t y t z t 6 , 2 , 9 ．由于坐标原点与对称点到平面的距离相等，则 2 2 2 2 2 2 | 36 4 81t 121| |121| 6 2 ( 9) 6 2 ( 9) t t d 解得 t 2 ，故所求对称点的坐标为( 12， 4，18 )． 6. 求与两直线 1 1 2 1 2 0 x t x y z y t z 及 平行，且过点(1，0，－1)的平面方程． 解 两条直线的方向向量分别为 s , s 1 2 2,1,1 1, 1,0 ，又所求平面与两条直 线都平行，故取平面的法向量 1 2 2 1 1 1, 1, 3 1 1 0 i j k n s s ， 从而所求平面方程为：( 1) ( 0) 3( 1) 0 x y z ，即 x y z 3 4 0 ． 7．求过点(3，1，－2)且通过直线 4 3 5 2 1 x y z 的平面方程． 解 由于已知点 P(3,1, 2) 及直线上点 Q(4, 3,0) 均在平面上，又直线的方向向量 s 5, 2,1 ，故取平面的法向量为 5 2 1 8, 9, 22 1 4 2 PQ i j k n s 因而，所求平面方程为 8( 3) 9( 1) 22( 2) 0 x y z ，即 8 9 22 59 0 x y z ． 8．已知平面 nx y z 5 0 ，问当 n 为何值时，平面与直线 3 4 2 4 y z x 平行？ 解 平面法向量 n n, 1, 1 ，直线方向向量 s 1, 2, 4 ，由于直线与平 面垂直，则 n s 0 ，即 n n n , 1, 1 1, 2, 4 2 0 2 ．