上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代。例如可将x的某些特定值（如Q（x）=0的根）代入（4）式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用X-2和x--2代入（4）式，立即求得A =1 和 A, =-1于是（4）式简化成为x4 -3x3 +12x -16 = A(x-2)(x+2)(*2 - x +1)+(Bx +C)(x - 2)(x + 2)2为继续求得A,，B,C，还可用x 的三个简单值代入上式，如令x-0,1,-1相应得到 A + 2C = 4,A +3B+3C = 2,3A -B+C=8由此易得A =2,B=-1,C=1.这就同样确定了所有待定系数
上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代。例如可将x 的 某些特定值（如Q(x)=0的根）代入（4）式，以便得到一组较简单 的方程，或直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用 x=2和x=-2代入（4）式，立即求得 于是（4）式简化成为 为继续求得 还可用x 的三个简单值代入上式，如令 x=0,1,-1相应得到 A0 =1 和 A2 = −1。 3 12 16 ( 2)( 2)( 2 1) 1 4 3 x − x + x − = A x − x + − x + x ( )( 2)( 2) . 2 + Bx +C x − x + , , , A1 B C 由此易得 2, 1, 1.这就同样确定了所有待定系数。 3 8. 3 3 2, 2 4, 1 1 1 1 = = − = − + = + + = + = A B C A B C A B C A C
一日完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分。由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：dxLx + Mdx(p2 - 4q < 0)(II)](x + px +q)k:-a)对于(I),已知ln|x-al + C, k = 1,dx1(x-a)k(L- k)(x-a)k-r +C,k >1.对于只要作适当换元令便化为Lx + MLt + Ndx =di1J (x? + px +q)+r?)dt+ NdttL(t +r°)(t? +r2)*
一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分。由 以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分 都将归为求以下两种形 式的不定积分： . 2 , 4 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 4 0). ( ) ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L p N M p r q t r dt dt N t r t L dt t r Lt N dx x px q Lx M x a dx I dx p q x px q Lx M II x a dx I k k k k k k k = − = − + + + = + + = + + + = − − + + + − 其中 对于只要作适当换元令便化为 对于 已知 , 1. (1 )( ) 1 ln , 1, 1 + − − − + = − C k k x a x a C k k
2V=M-PL.P其中r2=qN24当k=1时，(5)式右边两个不定积分分别为1tdt=n( +r _+C,.2J t?+r2dt 1t(6)= -arctan -+C.J t? +r.rr价当k≥2时，（5）式右边第一个不定积分为1tdt =2(1- k)(° +r )- +C.( +r2)
. 2(1 )( ) 1 ( ) 2 5 arctan . (6) 1 ln( _ , 2 1 1 5 . 2 , 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 C k t r dt t r t k C r t t r r dt dt t r C t r t k L p N M p r q k k + − + = + = + + = + + + = = − = − − 当 时，（ ）式右边第一个不定积分为 当 时，（ ）式右边两个不定积分分别为 其中