第二章平面力系 我们已经知道,静力学编主要研究三个问题:受力分析、力系的简化和物体的 平衡条件。第一章已经学习了受力分析方法。本章研究平面力系的简化和物体的平 衡条件。在工程实践中,多数力系问题具有平面对称性,都可以简化为平面力系问 题,即使是空间问题,亦可简化为平面问题解决,故本章是重要一章。 显然,物体上只有一个力作用的形式是最简单的受力形式。综合前述知识可知 合力就是可以代替一个力系的最简单形式。因此,力系的简化过程也就是求合力的 过程,这一过程也称为合成或简化。反之,合力也可以用各分力组成的力系来代替 把合力分解成分力的过程称为分解或投影 现在就让我们从刚体上只有一个力作用的情况来开始我们的研究吧。 第一节力的投影与合力投影定理 、单力的分解与投影 如图2-1(a)刚体上任意一点A作用一个力F,这显然是物体受力最简单的形式。 由平行四边形法则可知,F可以认为是F1、F2的合力。同样,也可以认为是F3、 F4的合力图2-1(b)。事实上,F可以按这样的方式分解出无数对分力 Fy 图2-1 在这无数对分力中,一定存在一对相互垂直的分力。这会使我们自然联想到直 角坐标系。 显然,如果将刚体放在一个直角坐标系中如图2-1(c)所示。则力F可以用 BB表示,则Fx、F是F沿x、y轴方向的分力;也可以说F是Fx、F两个分力 的合力。Fx、F是F沿x、y轴方向的投影。分力Fx、F的值分别与力F在同轴 上的投影Fx、F相等,力F的分力Fx、F是矢量,作用于A点处;力F的投影 是代数量,在坐标轴上,投影方向与坐标轴正向相同时为正,相反为负。 若已知力F的大小及其与x轴所夹锐角a,则有 Fr=Fcos a
21 第二章 平面力系 我们已经知道，静力学编主要研究三个问题：受力分析、力系的简化和物体的 平衡条件。第一章已经学习了受力分析方法。本章研究平面力系的简化和物体的平 衡条件。在工程实践中，多数力系问题具有平面对称性，都可以简化为平面力系问 题，即使是空间问题，亦可简化为平面问题解决，故本章是重要一章。 显然，物体上只有一个力作用的形式是最简单的受力形式。综合前述知识可知， 合力就是可以代替一个力系的最简单形式。因此，力系的简化过程也就是求合力的 过程，这一过程也称为合成或简化。反之，合力也可以用各分力组成的力系来代替， 把合力分解成分力的过程称为分解或投影。 现在就让我们从刚体上只有一个力作用的情况来开始我们的研究吧。 第一节 力的投影与合力投影定理 一 、单力的分解与投影 如图2-1(a)刚体上任意一点A 作用一个力 F，这显然是物体受力最简单的形式。 由平行四边形法则可知，F 可以认为是 F1、F2 的合力。同样，也可以认为是 F3、 F4 的合力图 2-1(b)。事实上，F 可以按这样的方式分解出无数对分力。 (a) (b) (c) 图 2-1 在这无数对分力中，一定存在一对相互垂直的分力。这会使我们自然联想到直 角坐标系。 显然，如果将刚体放在一个直角坐标系中如图 2-1（c）所示。则力 F 可以用 AB 表示，则 Fx 、Fy是 F 沿 x、y 轴方向的分力；也可以说 F 是 Fx 、Fy两个分力 的合力。Fx 、Fy是 F 沿 x、y 轴方向的投影。分力 Fx 、Fy的值分别与力 F 在同轴 上的投影 Fx 、Fy相等，力 F 的分力 Fx 、Fy是矢量，作用于 A 点处；力 F 的投影 是代数量，在坐标轴上，投影方向与坐标轴正向相同时为正，相反为负。 若已知力 F 的大小及其与 x 轴所夹锐角 α,则有: Fx=Fcosα
F=Sina (2-1) 若已知Fx、F值,同理可求出F的大小和方向 (2-2) ga=FI 二、平面汇交力系的合成与合力投影定理 研究问题总是本着由已知求未知、由简到繁、由易到难的原则进行的。现在, 我们已知掌握了一个力分解的方法,并可以求得其沿直角坐标轴上的投影;也可以 依据力的平行四边行法则将两个力合成一个力(相互垂直也可用解析法),即求得 两个力的合力。也就是对由两个力组成的力系进行简化。 要注意的是,前面我们合成的两个力都是作用在同一点上的。 我们把这种各力作用线都汇交于一点的平面力系,称为平面汇交力系 这是一种较为简单的平面力系,在工程上常常遇见。比如,图2-1(a)所示为内 燃机的曲柄滑块机构工作图,图2-2(b)为其简图。在解题时,这个机构常常画成 图2-2(c)的形式。当活塞C所在汽缸内燃气燃烧时,所产生的推力F推动活塞 向左移动,通过两端铰接的连杆BC带动曲柄克服工作阻力矩M,绕A作定轴转动 滑块C的受力图如图2-2(d)所示。 F 再比如,船上栓缆绳的各类钩环,如图2-3示,桥梁等桁架结构的节点受力 如图2-4示,等等,都的工程中的平面汇交力系形式。 工程上这类受力构件的具体形式及其受力的具体形式是多种多样的。为了更普 通地对各种不同存在的工程问题进行研究,我们将各类具有具体形状的构件,抽象 为忽略形状大小的刚体:将具体的受力情况只保留汇交力系的基本特征。这就成了
22 Fy=Fsinα (2-1) 若已知 Fx 、Fy值，同理可求出 F 的大小和方向 2 2 x y y x F F F F tga F = + = （2-2） 二、平面汇交力系的合成与合力投影定理 研究问题总是本着由已知求未知、由简到繁、由易到难的原则进行的。现在， 我们已知掌握了一个力分解的方法，并可以求得其沿直角坐标轴上的投影；也可以 依据力的平行四边行法则将两个力合成一个力（相互垂直也可用解析法），即求得 两个力的合力。也就是对由两个力组成的力系进行简化。 要注意的是，前面我们合成的两个力都是作用在同一点上的。 我们把这种各力作用线都汇交于一点的平面力系，称为平面汇交力系。 这是一种较为简单的平面力系，在工程上常常遇见。比如，图 2-1(a)所示为内 燃机的曲柄滑块机构工作图，图 2-2（b）为其简图。在解题时，这个机构常常画成 图 2-2（c）的形式。当活塞 C 所在汽缸内燃气燃烧时，所产生的推力 F 推动活塞 向左移动，通过两端铰接的连杆 BC 带动曲柄克服工作阻力矩 M，绕 A 作定轴转动。 滑块 C 的受力图如图 2-2（d）所示。 A B C (a) (b) A B C 1 2 (c) (d) 图 2-2 再比如，船上栓缆绳的各类钩环，如图 2-3 示，桥梁等桁架结构的节点受力， 如图 2-4 示，等等，都的工程中的平面汇交力系形式。 工程上这类受力构件的具体形式及其受力的具体形式是多种多样的。为了更普 通地对各种不同存在的工程问题进行研究，我们将各类具有具体形状的构件，抽象 为忽略形状大小的刚体；将具体的受力情况只保留汇交力系的基本特征。这就成了
平面汇交力系作用于刚体上的一般情形,如图2-5示。这样的研究思想在后面的学 习中会经常用到,请读者用心体会。 图2-3 1、平面汇交力系合成(简化)的几何法 现在就让我们来研究一下作用于刚体上的平面汇交力系的一般情况,如图2-5 (b) 图2-5 设所有的力的作用线汇交于O点,如图2-5(a)。根据平行四边形法则,可将 F1、F2合成为R12并可用F1、F2合力R12代替F1、F2的作用:再用R12与F3合成 为R123,用R123代替F1、F2、F3的作用:最后用R123与F4合成,即可得出力系的 合成力R,如图2-5(b) 由上述分析可知,若力系中有更多力时,可按上述方法连接应用平行四边形法 则求得合力。数学表达式为 R=F+F2+F1+…+F=∑F 还可以连接应用三角形法则来求得,如图2-5(c)示 仔细观察图2-5会发现,求R12、R123也可以省略。只需要保持各力大小方向不 变,将各力首尾相接,形成一条折线,最后连上没有封闭的一边,从力系汇交点指 向最后力的末端形成的矢量即为合力R的大小和方向。如图2-5(d)示。这个方法 称为力的多边形法则。 合力的作用点为力的汇交点,其大小、方向与各力相加次序无关 结论:平面汇交力系简化的结果是一个力 2、平面汇交力系合成简化的解析法—合力投影定理 据式2-3知 R=F+F2+F+…+F=∑ 将上式两边分别向x及y轴投影,有
23 平面汇交力系作用于刚体上的一般情形，如图 2-5 示。这样的研究思想在后面的学 习中会经常用到，请读者用心体会。 θ θ 图 2-3 图 2-4 １、平面汇交力系合成（简化）的几何法 现在就让我们来研究一下作用于刚体上的平面汇交力系的一般情况，如图 2-5。 (a) (b) (c) (d) 图 2-5 设所有的力的作用线汇交于 O 点，如图 2-5（a）。根据平行四边形法则，可将 F1、F2 合成为 R12 并可用 F1、F2 合力 R12 代替 F1、F2 的作用；再用 R12 与 F3 合成 为 R123，用 R123 代替 F1、F2、F3 的作用；最后用 R123 与 F4 合成，即可得出力系的 合成力 R，如图 2-5（b）。 由上述分析可知，若力系中有更多力时，可按上述方法连接应用平行四边形法 则求得合力。数学表达式为 R = F + F + F + + F = F 1 2 3 n (2-3) 还可以连接应用三角形法则来求得，如图 2-5（c）示。 仔细观察图 2-5 会发现，求 R12、R123 也可以省略。只需要保持各力大小方向不 变，将各力首尾相接，形成一条折线，最后连上没有封闭的一边，从力系汇交点指 向最后力的末端形成的矢量即为合力 R 的大小和方向。如图 2-5（d）示。这个方法 称为力的多边形法则。 合力的作用点为力的汇交点，其大小、方向与各力相加次序无关。 结论：平面汇交力系简化的结果是一个力。 2、平面汇交力系合成简化的解析法——合力投影定理 据式 2-3 知 R = F + F + F + + F = F 1 2 3 n 将上式两边分别向 x 及 y 轴投影，有
R=F1+F2+F3x+…+F=∑F R,=Fr+F2r+F3 ∑ 上式说明,力系的合力在某轴上的投影等于力系中在同 轴上投影的代数和,这就是合力投影定理。根据2-2可求得 合力R的大小方向如图2-6 R=√∑F)+(∑ 例2-1试求图2-3所示钩环所受的合力的大小及方向。已知:T1=2000N T2=732N,T3=732N。a=30°。 解以三力汇交点A为坐标原点建立直角坐标系,如图2-4所示 利用公式(2-4),可求得 R2=Tx+72x+73 =-200030404732 =-1000) R,=7y+72y+73 2000sin30°-732+0 1732(N) 再应用公式(2-5),可求得: R=∑F)+(∑F)=200 F ∑F √3 第二节力对点之矩 实践告诉我们,力的运动效应中有一种情况是使受力物体产生转动效应。描述 这种作用的概念有两个:力矩和力偶。本节研究力矩及相关问题。下一节研究力偶 及相关问题
24 1 2 3 1 2 3 x x x x nx x y y y y ny y R F F F F F R F F F F F = + + + + = = + + + + = （2-4） 上式说明，力系的合力在某轴上的投影等于力系中在同 轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。根据 2-2 可求得 合力 R 的大小方向如图 2-6 ( ) ( ) 2 2 x y y x R F F F tg F = + = （2-5） 例 2-1 试求图 2-3 所示钩环所受的合力的大小及方向。已知：T1=2000N， T2=732N，T3=732N。α=30°。 解 以三力汇交点 A 为坐标原点建立直角坐标系，如图 2-4 所示。 利用公式（2-4），可求得： R T T T x x x x = + + 1 2 3 2000cos30 0 732 1000( ) N = − + + = − R T T T y y y y = + + 1 2 3 2000sin 30 732 0 1732( ) N = − − + = − 再应用公式（2-5），可求得： ( ) ( ) 2 2 2000( ) 3 , 60 x y y x R F F N F tg F = + = = = = 第二节 力对点之矩 实践告诉我们，力的运动效应中有一种情况是使受力物体产生转动效应。描述 这种作用的概念有两个：力矩和力偶。本节研究力矩及相关问题。下一节研究力偶 及相关问题。 图 2-6
、力矩的概念 在物理学中我们曾经接触过力矩的概念,通过分析杠杆,引入力F对固定支点 O的矩,如图2-8示,记为m=士Fd,O点称为矩心,d为力臂,M为矩。它是力 F使物体绕支点O转动效应的度量。 图28 并规定:绕矩心逆时针转动为正,反之为负。 本节的研究中,上述内容仍有定义,称为力对点之矩,简称力矩,记为 切皆与以前所学相同。 但要说明两点 1、力矩的概念不仅适用于描述力对有固定支点的物体的作用效应,也适用于 描述力对没有固定支点的物体的作用效应;或者是描述力对有固定支点的物体上固 定支点以外各点的作用效应。也就是说,矩心也可以是固定点或者是可转动的支点, 也可以是物体上或者是物体外是任意一点 2、在平面问题中,力矩是代数量,单位为N.m或kN·m。在空间问题中,力 矩实际矢量,但其物理意义与平面问题基本相同。 由力矩的定义和公式(2-6)可知 1、当力的作用线通过矩心时,力臂值为零,则力矩值为 R 零;当力的大小为零时,力矩值为零。 2、力沿其作用线滑移时,不会改变力矩的值,因为此时 没有改变力和力臂的大小及力矩的转向 图2-9 、合力矩定理 平面汇交力系的合力,对于平面上任一点之矩,等于力系中所有的力对同一点 之矩的代数和(图2-9)。这就是合力矩定理 数学表达式为 m(R=∑m(F)+∑m(F2)+…+∑m(F)=∑m(F)(27) 上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系,也适用于其它各类力系。 合力矩定理为我们提供了求解力系合力对某点之矩的方法,同时也提供了求解 个力的合力对某点之矩的方法。在计算力矩时,有时力臂值计算较繁,可应用此 定理,简化力沿已知尺寸方向作正交分解,分别计算两个分力的力矩,然后相加求 得原力对同点之矩
25 — 、力矩的概念 在物理学中我们曾经接触过力矩的概念，通过分析杠杆，引入力 F 对固定支点 O 的矩，如图 2-8 示，记为 m0=±F·d，O 点称为矩心，d 为力臂，M0 为矩。它是力 F 使物体绕支点 O 转动效应的度量。 O 图 2-8 并规定：绕矩心逆时针转动为正，反之为负。 本节的研究中，上述内容仍有定义，称为力对点之矩，简称力矩，记为 m0(F)=±F·d (2-6) 一切皆与以前所学相同。 但要说明两点： 1、力矩的概念不仅适用于描述力对有固定支点的物体的作用效应，也适用于 描述力对没有固定支点的物体的作用效应；或者是描述力对有固定支点的物体上固 定支点以外各点的作用效应。也就是说，矩心也可以是固定点或者是可转动的支点， 也可以是物体上或者是物体外是任意一点。 2、在平面问题中，力矩是代数量，单位为 N·m 或 kN·m。在空间问题中，力 矩实际矢量，但其物理意义与平面问题基本相同。 由力矩的定义和公式（2-6）可知： 1、当力的作用线通过矩心时，力臂值为零，则力矩值为 零；当力的大小为零时，力矩值为零。 2、力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为此时 没有改变力和力臂的大小及力矩的转向。 二 、合力矩定理 平面汇交力系的合力，对于平面上任一点之矩，等于力系中所有的力对同一点 之矩的代数和（图 2-9）。这就是合力矩定理。 数学表达式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m o o o o o R F F F F = + + + = 1 2 n （2-7） 上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，也适用于其它各类力系。 合力矩定理为我们提供了求解力系合力对某点之矩的方法，同时也提供了求解 一个力的合力对某点之矩的方法。在计算力矩时，有时力臂值计算较繁，可应用此 定理，简化力沿已知尺寸方向作正交分解，分别计算两个分力的力矩，然后相加求 得原力对同点之矩。 图 2-9