方程的解亦称方程的根或函数的零点 根可能是实数或复数 若f(a)=0,f(a)≠0,则c称为单根 若f(a)=f()=…=f(a)=0 而f((a)≠0,则a称为k重根 常见的求解问题有两种: (1)要求定出在给定范围内的某个解 (2)要求定出在给定范围内的全部解。 非线性问题,除少数情况外,一般不能 不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。 即构造出一近似值序列a02ax1 逼近真解。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 4.1 • 方程的解亦称方程的根或函数的零点。 • 根可能是实数或复数。 • 若 则 称为单根； 若 而 ，则 称为 k 重根。 常见的求解问题有两种： (1) 要求定出在给定范围内的某个解。 (2) 要求定出在给定范围内的全部解。 • 非线性问题，除少数情况外，一般不能 不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。 即构造出一近似值序列 逼近真解 。 ( ) 0, ( ) 0, ' f = f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 = = = = − k f f f f (k ) () 0 0 ,1 , ,n
4.1 迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方 程的性态有关,某些解法仅与初值有关。 收敛速度一般由迭代方法所决定,方程的 性态也会起一些作用。 本章主要介绍非线性方程组的解法, 而方程的解法用较少的篇幅在4.2中扼要介绍。 解非线性方程和方程组有很大区别。后者 要困难得多。主要的区别在于一维情形可 以找到一个根的范围,然后缩小,最终找 到根。而多维情况则很难确定根的存在。 直到你求得它的解。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 7 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 4.1 • 迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方 程的性态有关，某些解法仅与初值有关。 • 收敛速度一般由迭代方法所决定，方程的 性态也会起一些作用。 本章主要介绍非线性方程组的解法， 而方程的解法用较少的篇幅在4.2中扼要介绍。 解非线性方程和方程组有很大区别。后者 要困难得多。主要的区别在于一维情形可 以找到一个根的范围，然后缩小，最终找 到根。而多维情况则很难确定根的存在。 直到你求得它的解
4.2非线性方程的解法 42.1二分法 对于连续函数f(x),如果在 x=a和x=b处异号:f(a)f(b)<0 则f(x)在b至少有一个根 逐步缩小区间[2b并保持f(a)f(b)<0 =0时已找到解)当区间[a,b]足够小时 用(a+b)2近似作为(x)=0的解。 每步使长度[a,b减小一倍,即二分 ab]的方法,称二分法。用 a+b b或 2 atb 代替前一步的[a,b]取决于f(a) 2 a+b 2同号与否 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 8 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 4.2 非线性方程的解法 4.2.1 二分法 对于连续函数 ，如果在 和 处异号： 则 在 内至少有一个根。 f (x) x = a x = b f (a) f (b) 0 f (x) a,b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 与 同号与否。 代替前一步的 取决于 的方法，称二分法。用 或 每步使长度 减小一倍，即二分 用 近似作为 的解。 当＝０时已找到解。当区间 足够小时， 逐步缩小区间 ，并保持 + + + + = 2 , 2 , , 2 , , 2 0 , , 0 a b f a b f a a b a b a b a b a b a b f x a b a b f a f b
4.2.1 用图来表示这个过程: 收敛速度慢,线性 2、方法稳定,只要求 feca,bl 3、只能求实函数的一个 b 时零点 图42二分法方程求根 确定根所在的范围[ab]对有的函数 也是一件困难的事。所幸的是,在实际应 用中,根据其物理或工程的背景,在绝大 部分场合是不困难的。对给定的函数也有 确定范围的方法 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 4.2.1 用图来表示这个过程： ０ y x a a b b a b ( ) 时零点。 、只能求实函数的一个 、方法稳定，只要求 、收敛速度慢，线性。 3 , 2 1 0 f x c a b 确定根所在的范围［a,b］对有的函数 也是一件困难的事。所幸的是，在实际应 用中，根据其物理或工程的背景，在绝大 部分场合是不困难的。对给定的函数也有 确定范围的方法。 图 4.2 二分法方程求根
4.2.1 a 图43寻找隔根区间示意1 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 a b • • • • • • a b x1 c x1 d x2 x3 c f (a) (b) 4.2.1 图 4.3 寻找隔根区间示意1