合刚度矩阵,然后用与有限元方法完全同样的方式解一个代数方 程组,得到ψ,其余节点值可以由(1.⑦)确定 如果A是一个可逆矩阵,上述广义特征值问题可以化为普 通特征值问题,以R2左乘(1.12)式得 CAT)IK (AT)-IA Ag Ag 它就是一个普通特征值问题 特征值λ可能是复数,这就需要作复数运算。为避免这 点,我们可以将公式(1.13)胳作变形。特征值与特征向量必定是 成对共轭地出现的,设λ=a±,g=p土i是一对特征值与特 征向量,由(1.11)得 X(t1)=(±iB)(p±iq)。 分离实部与虛帑得 Xp=ap-Bq, Xq=Rp+ag, Y(卩,4)=(,q) 我们替换矩阵T与A中对应的两列,令 不难看出 X=711T 将各对复特征值一一作了以上替换以后,求转移矩阵X的运算就 是实的了。 §2 Fourier方法 上节中給出的方法可适用于任何的相似剖分,其运算量为解
个2n阶幃征值问题。在本节我们对一种特殊的相似剖分使用 Fourier变换,使得求矩阵X,Kz时,只需极少量的计算 我们要求图2中的剖分具有下面的性质:当图2绕O点旋转 2m/n弧度时,它在这个旋转下不变。这时0是一个正多边形,以 O点为中心,并且每个小四边形的剖分是一致的,如图4所示。 我们将在下章证坝,对于这样的特殊劑分,矩阵K0,K,A 都是循环矩阵,即它们都是如下形状 A,, ij T-罩 B 25 作单位根=e 以及两矩阵 11 1 F
则可以对B施行 Fourier变换,以F记F的共轭矩阵,通过计算 可以直接验证 FBF=die(∑b,∑“b …,∑d(t-1(-1) 令3k=Fk,k=0,1,…,以F左乘(1.6)的诸方程,得 P2。-Qz1=Pfo 2.1)a Q20+ Px1-Q22=0, (2.1) Q2k-+ P2k-gzk+I=0, 其中 FRI Q=FAF, P=FKF 它们都是对角矩阵。我们将它们记作 Po= diag(p,, po2,e, pom) P Q=diag(q,q2,…,4)。 令 zk=(z1),z2) k2) Ffa=(φ1,p2),…,p(m)T 将(2.1)写成分量的形式,得到个无穷阶代数方程组(t=1,2,… 722=0 qx},=0 下面象§1一样地作推导,存在常数x',使 k =o, 1 得到x()满足的方程 1)(x2) E (2.2) (2.2)的两个根的绝对值互为倒数。我们将在下章证明1x≤1
而且当x=1时,必有x(1=1。因此只要取 241 中绝对值较小的那一个,就是我们所需要的根x4记 Z= diag(x 则 Z2 k=0 y FZPyk, k=0,. 与§1比较,可以发现转移矩阵就是ⅹ=FzF,由此立即得到组 合刚度矩阵 Kz=Ko-atFze s3迭代法 回到§1中的任意相似剖分,虽然公式(1.13),(1.11)都是特 确的,但是求解特征值问题仍然需要通过近似计算。在这里,我 们给出另一个近似算法,它的运算量比§1中的算法的运算量要 小一些 考察由2‘(l=0,1,…)层组成的一个组合体:以 K A K 记它的组合刚度矩阵。当=0,只要取A0=A,它与§1中的符 号就是一致的。利用 Laplace方程的解使应变能(1.4)达到最小 这一事实,可以得到递推关系 K y (y,x1) K'1+ min(yT, wt)
AT (3.1) A 其中R表示n维实向量空间。计算花括号中的量关于的偏微 商,并令它等于零得 -2Aiy+2KW+2KLW-2AT2=0. 因此 (KI+K(Ay+Afz (3.2) 将(3.2)代入(3.()式并比较同类项得 K1+1EK-AT(K:+K1-AL (3.3) K4+=K-A: (K +K)-IAT (3.4) A Ai(K2+Ki (3.5) 利用(3.8)—(8.5我们可以递推地得到所有的2层组合刚度矩 阵 现在,设为已知,￠为-待定常数,并且设当k≥24, t=1,2,…,n时,ξ=C,当k=1,2,…,21-1时,方程(1.6)k 都成立。在这些限制下,由(1.4)所给出的应变能就是 K (y, cgT A[\y A yoK la (3.6 其中g1就是§I中的特征向量(1,l,….1)T, 改变常数O,使(3.6)达到最小,令n=0得 -9iAya+ciGR=0. 因此 iaI vAig 9r 91K19, 于是 W A19191A giRi 10