简记为:X=1q1+…+tn-ran=r 显然an,a2,…,an=都是AX=0的解并且AX=0 的每个解都可由它们线性表示.而矩阵 b ,r+ bn r,r+1 rn 1,02,…,Qn-r)= n-r 秩数为n 所以a1,Q2,…,Qn-r线性无关.从而为基础解系 上
X t1 1 n r n r 简记为: = + α α " + t − − 1 2 显然, , α α , , " αn r − 都 是AX = = 0的 解,并 且AX 0 的每个解都可由它们线性表示. 1, 1 1 , 1 1 2 n- r , , , ) I r n r r r n n r b b b b α α α + + − ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " ( " 而矩阵 秩数为 n-r . 1 2 , , , 所以 α α " αn r − 线性无关. 从而为基础解系
例3.1求下列方程组的一个基础解系及通解. X1-X2+X3-X4=0 2x1-2X2+X3+x4=0 3x1-3X2+2x3 0 4x1-4X2-3x3-X4=0 解:将系数矩阵化成约化阶梯矩阵 1-11-1 2×n+/1-11 2-211|-3×n+1300-13 3-320-4×+4 00-13 4-43-1 00-13 上页下 圆回
例3.1 求下列方程组的一个基础解系及通解. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 0 2 2 0 . 3 3 2 0 4 4 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪ − + − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − + + = ⎪ ⎨ ⎪ − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − − = ⎪⎩ 解: 将系数矩阵化成约化阶梯矩阵. 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 2 0 4 4 3 1 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎟ ⎝ ⎠ − 2× + r r 1 2 − 3× + r r 1 3 − 4 × + r r 1 4