139。 求星形线x + = a 的离坐标原点最远的切线。140.证明：对于等边双曲线x2y2=a的任何点M，法线从点M到与Ox轴的交点的线段等于线段OM。141.证明：圆的渐伸线x=a（cost+tsint），y=a（sint一tcost）的所有法线离坐标原点一样远。142。证明：如果平面曲线的所有法线过一定点，则触线是圆或圆的一部分。143146.求下列曲线的交点和交角：(143) y2=4 x,x2= 4 y。(144)x2+y2=9,x2+y2-6x=9。(145)x2+y2+2x=7,y2=4x。(146) y=sinx, y=cosx。147一149，证明下列曲线相交成直角：(147) y= x- x2, y = x- x(148)y2=2ax+a2,y2=-2bx+b2(149)x2-y2=a,xy=b。150.证明：曲线=（）的切线与在切点的径矢的夹角的正切由下面公式给出：rtgμ=dr/dq151．证明：心脏线在任意点的切线和径矢之间的夹角等于极角的半。152.证明：心脏线r=2a（1cos）在过极点的弦的两端点所作的切线互相垂直。153.证明：阿基米德螺线r.=&Φ的切线和由极点所34
引的切点的径矢之间的夹角在→αc时趋向于90154。证明：对数螺线r=ca，a>0,在任意点的切线与切点径失的夹角μ是常数。155。证明：仅有对数螺线和圆具有上题所指出的性质。156证明：贝努利双纽线r2=2acos2Φ在任意点的切线与切点径矢的夹角μ等于2+晋，其中Φ是切点的2极角。在这个性质的基础上指出双纽线在任意点的切线和法线的作法。157.设在极坐标系中给出曲线r=r(Φ)和r1=r（），证明：如果rri+r'r'=0，则它们相交成直角。158-159.证明下列曲线交成直角：(158)r=ae，r=be-Φ。(159)r=a(1+cosq)，r=a(l-cosq)。160.设曲线y=y（x）在M点的切线交Ox轴于点T，而法线交Ox轴于点N，并设P是M点在Ox轴上的投影。证明：切线MT，法线MN，次切距PT和次法距PN的长度可用下列公式表示：[MT|=/|/1+y"[ MN / = | y/ /1+y"[P{[| Pn|-|yy'|35
161一162。求下列曲线的切线、次切距、法线和次法距的长度：（161）y=tgx在横坐标为的M点处。41(162)（e×+e")在任意点处。2163.求曲线，使该曲线的次法距为定长且等于k。164.求一曲线，使该曲线的次切距为定长且等于k。165.证明：圆心在0x轴上的圆是法线长度为定长的唯一曲线。166.求切线长度为定长a的曲线。167.证明：电物线（见166题的答案）与横轴间所围的面积是有限的。168设曲线r=r（Φ）在M点的切线与过极点并垂直于切点径失的直线交干点T，而法线交这直线于点N。证明，极切线MT，极法线MN、极次切距OT和极次法距ON的长可分别用下列公式表示：MT=MNr2IOT}"ON169。求曲线，使其极次切距为定长k。170求曲线，使其极次法距为定长。171.求曲线，使其极法线为定长k。172。证明：星形线+=a的切线在两坐标36
轴之间所夹的线段长度为a。173证明：贝努利双纽线r2=2a2cos2Φ在过极坐标系极点的弦的两个端点处的切线平行。174。证明：星形线每条切线交星形线于两个点，在该两点的切线相交在星形线的外接圆周上。175。证明：两曲线在公共点的切触阶不低于1的充要条件是两曲线在公共点上有公共切线。176.证明：曲线y=ek×sinmx与曲线y=ekx和y=e"k*都相切。177178.求下列曲线在坐标原点的切触阶：(177)y=sinx,y=tgx。(178)y=x,y=xsinx。179。证明：曲线y=sinx, y=x+-x*+x6在坐标原点具有三阶切触。180.说明：曲线x2+y2-6x-6y+10=0,Vx+Vy-2=0（x>0，y>0）在点A（1，1）具有怎样的切触阶。181.求与圆×2+y2=2相切于点M（1，1）的形式为y=x+ax+b的抛物线方程。182.求与抛物线y=×在坐标原点有二阶切触的圆方程。183.求与曲线y=1nx在点M（1，0）具有最高阶切触的抛物线方程。184.求与曲线y=f（x）在点A（0，f（0)）有n阶切37
触的曲线y=a。+aix+a2x?+.+anxn185.求下列方程：1）椭圆，2）双曲线，3）抛物线，它们的顶点与旋轮线x=R（t-sint），y=R（1-cost）的顶点A（元R，2R）重合，并与旋轮线有最高阶切触。83渐近线奇异点。线（曲线）的讨论和作图如果线 (曲线)(1)x=x(t),y=y(t)在t→t。时有渐近线，它的方程为y=kX+b，则k = limy(t)b= lim (y(t)-kx(t))。X(t)'t-→tot-→to如果线（曲线）（1）在t→t。时有竖的渐近线，则渐近线的方程为xa，其中a= lim x(t), lim y(t)=α。t-→tot--to设曲线由参数表示r=r（t）给出，M=r（t。是曲线上使（t。）=可的点，则称点M为非正则点。设一(P)(t。)是第一个不为零的导数,而(°)( t。）是第一个与失量7(P)（t。)不共线的导数。那么可能有下列几种情况：1）p是奇数，q是偶数，2）p是奇数，9是奇数'38