于是 K|(s+s,) F(s)=1+L(s)=1+ N(S) D(S)+N(s) D(S) D(S) s+s 而且F(s)和L(s)有相同的极点。但是,F(s)的零点才是 系统的特征根并决定系统响应的性质 系统的输出为 Y(S)=7(S)R(S)= ∑ P DkR(S)= ∑ 2R(s) △(S) F(s)的分子多项式才是闭环传递函数的分母多项式 即特征多项式
于是 = = + + = + = + = + = M k k n i i s s K s s D s D s N s D S N S F s L s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 而且F(s)和L(s)有相同的极点。但是，F(s)的零点才是 系统的特征根并决定系统响应的性质。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R s F s P R s s P Y s T s R s k k k k = = = 系统的输出为 F(s)的分子多项式才是闭环传递函数的分母多项式， 即特征多项式
重新考虑 F(s)=2(S+1/2)s=-1/2为零点 F(s)-plane A 小lB B 图9.2 所选择的闭合曲线在围线区域内包围了零点一次
F(s) = 2(s +1/ 2) 重新考虑 s = −1/ 2 为零点 所选择的闭合曲线在围线区域内包围了零点一次。 图 9.2
极点 零点 F(s)=S/(S+2)s=-2s=0 图93 单位正方形围线包围了s=0的零点,但不包围在s=2处的极点
F(s) = s/(s + 2) s = −2 s = 0 极点 零点 单位正方形围线包围了s=0的零点，但不包围在s=-2处的极点 图 9.3
Cauchy定理( Cauchy's theorem)给出了在平面上闭合 曲线包围的极点和零点的情况与映射到平面上的曲线包 围原点次数之间的关系,该定理通常称为幅角原理 ( principle of argument),其结论为: 当s沿围线I顺时针方向移动时,若在s平面上包围F(s) 的Z个零点和P个极点,但不通过F(s的任何极点和零点, 则映射的围线TF也以顺时针方向在F平面上包围F(s) 平面的原点N=ZP次
Cauchy定理（Cauchy’s theorem）给出了在平面上闭合 曲线包围的极点和零点的情况与映射到平面上的曲线包 围原点次数之间的关系，该定理通常称为幅角原理 （principle of argument），其结论为： 当s沿围线 顺时针方向移动时，若在s平面上包围F(s) 的Z个零点和P个极点，但不通过F(s)的任何极点和零点， 则映射的围线 也以顺时针方向在F(s)平面上包围F(s) 平面的原点N=Z-P次。 s F
于是,对于图9.2和9.3所示的例子,由于N=z-P=1, 而且在F()平面上的围线包围原点一次,所以与 Cauchy定理 的结论相吻合。作为另一个例子,考察函数F(x)=5(x+1/2)。 对于图94(a)所示的单位正方形围线,在F()平面上得到的 围线如图94(b)所示。在这种情况下,由于N=2-P=0,而 且围线r不包围原点,所以也与 Cauchy定理的结论相吻合。 (a) 图94 (b)
图 9.4