国家重点实验室 域 °定义:非空集合F,若F中定义了加和乘两种运算,且满 足 >1)F关于加法构成阿贝尔群,加法恒等元记为0 >2)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群,乘法恒等元记为1 >3)加法和乘法之间满足分配律 °域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环,且域 中一定无零因子。 元素个数无限的域称为无限域;元素个数有限的域称为有 限域,用GF(q)或厂表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域
域 定义：非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满 足： ➢ 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 ➢ 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元 记为1 ➢ 3) 加法和乘法之间满足分配律 域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环，且域 中一定无零因子。 元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或Fq表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域
国家重点实验室 子环 ●定义 若环R中的子集S,在环R中的定义的代数运算也构 成环,则称S为R的子环,R为S的扩环 ●判定 非空子集S是R的子环的充要条件是: ·对任何两个元素a,b∈S,恒有ab∈S; 对任何两个元素a,b∈S,恒有ab∈S; 例子 全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如m=3集合{…,-3, 0,3,…}构成一个子环
定义 ➢若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环 判定 ➢非空子集S是R的子环的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈S ， 恒有a-b∈S； • 对任何两个元素a, b∈S， 恒有ab ∈S； 例子 ➢全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如m=3, 集合{…, -3, 0, 3, …}构成一个子环 子环
国家重点实验室 理想 理想 >非空子集是交换环R的理想的充要条件是: 对任何两个元素a,b∈1,恒有a-b∈l;→Abe加群 对任何两个元素a∈,r∈R,恒有ar=ra∈l;→若饱含了a, 则包含了a的一切倍元 >|构成一个Abe加群,所以可用它作为一个正规子群, 把R中的元素进行分类划分陪集 主理想 >若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成,则称这个理想为主理想。 >在可换环R中,由一个元素a∈R所生成的理想|a)=a +n叫∈R,n∈2称为环R的一个主理想,称元素a为 该主理想的生成元
理想 理想 ➢非空子集I是交换环R的理想的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈I ， 恒有a-b ∈I；→Abel加群 • 对任何两个元素a ∈I, r∈R， 恒有ar=ra ∈I；→若I包含了a， 则包含了a的一切倍元 ➢I构成一个Abel加群，所以可用它作为一个正规子群， 把R中的元素进行分类划分陪集 主理想 ➢若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成，则称这个理想为主理想。 ➢在可换环R中，由一个元素a ∈R所生成的理想I(a)={ra + na|r ∈R, n ∈Z}称为环R的一个主理想，称元素a为 该主理想的生成元
国家重点实验室 剩余类环 ●定义 设R是可换环,/为R的一个理想,于是R模成 个可换环,称它为环R以理想/为模的剩余类环 例 >R=Z,l3={,-3,0,+3,…↓,R以戊划分陪集为 3.0.3 1=…,-2,1,4, 2,5 >集合0.,2}构成一个可换环
剩余类环 定义 ➢设R是可换环，I为R的一个理想，于是R模I构成一 个可换环，称它为环R以理想I为模的剩余类环 例 ➢R=Z，I3={…, -3, 0, +3, …}，R以I划分陪集为 ➢集合 构成一个可换环 0 , 3,0,3, ; = − 1 , 2,1,4, ; = − 2 , 1,2,5, = − 0, 1, 2
国家重点实验室 多项式 多项式 f(x=fnn+ f-1 xn-1+ . fX+fo 其中∈F问=0,1,…,n,该多项式称为域F上的多项 式 ●多项式次数degf(x) >系数不为零的x的最高次数称为多项式x)的次数 首一多项式 最高次数的系数为1的多项式 既约多项式 >设代x)是次数大于零的多项式,若除常数和常数与本 身的乘积以外,再不能被域Fn上的其他多项式整除, 则称x)为域F上的既约多项式 fx)是否既约与讨论的域有关:f(x)=x2+1在实数域上 既约,但在复数域上fx)=(x+n)(x-
多项式 多项式 f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0 其中 i=0,1,…,n，该多项式称为域Fp上的多项 式 多项式次数 degf(x) ➢系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数 首一多项式 ➢最高次数的系数为1的多项式 既约多项式 ➢设f(x)是次数大于零的多项式，若除常数和常数与本 身的乘积以外，再不能被域Fp上的其他多项式整除， 则称f(x)为域Fp上的既约多项式 ➢f(x)是否既约与讨论的域有关：f(x)=x 2+1在实数域上 既约，但在复数域上f(x)=(x+i)(x-i) i Fp f