如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化, 但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵(满足A'=A 的实矩阵),不仅一定可以对角化,而且解决起来 要简便得多,这是由实对称矩阵的特征值和特征向 量的特性所决定的。 定理1实对称矩阵的特征值为实数。 设复数为实对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的 特征向量,即Ax=λx,x≠0
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本节进一步讨论方阵的内在性质,加深对矩阵的认识和理解,以便更好地使用矩阵解决线性代数中的问题
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一、齐次线性方程组 例1设A为n阶矩阵,证明 R(A)=R(). 证明由于若Ax=0,有AAx=0,这说明凡是 Ax=0的解必为AAx=0的解。 另一方面,若AAx=0,我们记Ax=y,则有 yy=x'a'ax=x(a'Ax)=0,则y=0,亦 即Ax=0.这说明凡是AAx=0的解必为Ax=0的 解。故A'Ax=0与Ax=0的同解。当两齐次线性 方程组同解,意味着它们的基础解系包含的向 量个数相等,亦即有: n-R(A)=n-R(A'A) 所以R(A)=R(A'a)
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在前面的几节中,我们已经讨论了行列式的基本 理论及其运算法则,在此节中,我们将行列式的理论 及运算应用于解决n个变量、n个方程的线性方程组的 求解问题
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例1证明:向量组a1(≠0),a2,…,a线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个a,1
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定义1设IRn中的向量组A:a1,2,…an 线性无关,β是IR中中任一向量, 则,a1,a2,…,an线性相关(因为这 是n+1个n维向量,向量个数大于向量维数),于 是根据第三章第二节定理2知道向量可以用a1, a2…a唯一线性表示 =k1a1+k2a2++knan 我们称向量组A:a1,a2,…,an为空间 IR的一组基(basis),把数k1k2,k称为 向量在基a1,a2,…,an下的坐标
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定义1设a1,a2,…,am,β是一组n维 向量,若存在m个实数k1,k2,…km使得 β=ka1+k2a2++kmam,则称β可以 由a1,a2,…,an线性表示( linear representation).或称a1,a2,…,an线性 表示(linear generate) 例如:a1=(1,2,0)T,a2=(1,0,3)T,a3= (3,4,3)T,则a3=2a1+a2,即存在实数k =2,k2=1使得a3=ka1+k2a2,故a3可以 由a1,a2线性表示。(大家想一想,这里的常 数k1=2,k2=1是怎么求出来的?)
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行向量组a1=(a1,a2…,am),i=1,2,…,m可以构成矩阵称矩阵A是由向量组α1,Q2,…,αm所构成的矩阵,而向量组α1,α2,…,αm称为矩阵A的行向量组
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《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何 8-习题课《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）4-2齐次线性方程组黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分（2.4）初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 多元函数微分法及其应用（7.4）全微分及其应用《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.2可分离变量的微分方程《高等数学》课程教学资源：第十一章 习题课天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数与极限（1.2）数列的极限《高等数学》课程教学资源：高阶线性微分方程江西理工大学理学院：《高等数学》第八章 重积分（8-3）极坐标计算二重积分《数学基础》第五章 不定积分试题海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二章 数列极限 2.3 数列极限存在的条件