乘幂法(续) Remark:上述定理仅适用于4>122…21的情形。 对于规范化幂法,若当和2x分别有两 个不同的极限,说明A1=-12。此时若有m,使 (m) Um-2<,再做两次迭代 m+1 (m)J(m+2) (m+1) Cm石即=,( (m+2) 则有 特征向量分别为V(m+2)+4Vm≈x;(属于41) (m+3)-nm+)≈x2(属于2) 2004-12-1 16
2004-12-1 16 乘幂法（续） Remark：上述定理仅适用于 λ1 > λ2 ≥L≥ λn 的情形。 对于规范化幂法，若当{U（2k）}和{U（2k+1）}分别有两 个不同的极限，说明 λ1 = −λ2。此时若有m，使 1 ( ) ( 2) ( 1) , + + + = = m m m m V AU V AV − < ε ∞ （m） （m−2） U U ，再做两次迭代 2 ( ) 1 ( 2) ≈ λ + m l m l U V ( ) 2 1 ( 2) 1 , ( ) ( ) λ = λ = −λ + m l m l U V ( ) 1 1 ( 1) 1 ( 2) V λV x 属于λ m m + ≈ 特征向量分别为 + + 则有 即 ( ) ( ) 2 2 1) 1 ( 2) V λV x 属于λ m m − ≈ + +
乘幂法(续) 若当规范化序列{}无规律可循时,这时说明, 41=2。在m次迭代后,由m)=AU(m), J(m+2)=A(m+)p(m+3)=Am+2)做三次迭代, (m+3) p /(m+2)+q =0 然后按 (m+3) (m+2) (m+1) 计算q, +q1 0 再用所得之p,q计算 (m+3) + pv 7(m+2) +qv (m+1) 2004-12-1 17
2004-12-1 17 乘幂法（续） 若当规范化序列 无规律可循时，这时说明， 。在m次迭代后，由 { } (k ) U λ1 = λ 2 , (m 1) (m) V = AU + ( 2) ( 1) ( 3) ( 2) , + + + + = = m m m m V AV V AV 做三次迭代， 然后按 + + = + + = + + + + + + 00 ( 3) ( 2) 1 ( 3) ( 2) 1 （ ） （ ） mj mj mj ml ml ml V pV qV V pV qV 计算q，p 再用所得之p，q计算 ， ∞ + + + + + (m 3) (m 2) (m 1) V pV qV
乘幂法(续) 若其值小于E,就由M22i,-(), 求λ12,再由 m+3)-2y(m+2)作为x1 ,计算特征向量 (m+3) AV(m+2作为x2 否则以U(m+ max(e 作为初始向量, 重复以上计算步骤,直至 卩32+pm+2+q<e停止 2004-12-1 18
2004-12-1 18 乘幂法（续） 再由 − − + + + + 2 ( 2) 1 3 1 ( 2) 2 ( 3) V V x V V x m m m m 作为 作为 （ ） λ λ 求λ1，2 , ，计算特征向量。 小于 ，就由 1，2 （ ）2， 2 2p i q p 若其值 ε λ = − ± − 作为初始向量， ( ) （ （ 3）） 3 ( 3) max + + + = m m m V V 否则以U 重复以上计算步骤,直至 （ ）+ （ ）+ < ε停止。 ∞ m+3 m+2 (m+1) V pV qV
乘幂法的加速技术 乘幂法收敛速度依赖于比值 2表示满足 A一…=1411≥…≥2的那个下标。当r<1但接近于1 时,收敛可能很慢。因此必须研究加速收敛的方法。 1、原点平移法 用B=A-P/来代替A解乘幂法,P是一个可选参数 如果A的特征值为入,2,…,n,则B的相应特征 征值为入-P,乙2-P2…,2-P,而且A,B的特征 向量相同,BX=(A-PD)X=(4-P)X 2004-12-1 19
2004-12-1 19 二、乘幂法的加速技术 1 2 λ λ r = 乘幂法收敛速度依赖于比值 。 表示满足 的那个下标。当r<1但接近于1 时，收敛可能很慢。因此必须研究加速收敛的方法。 0 λ j λ1 =L= λ j0 −1 > λ j0 ≥L≥ λn 1、原点平移法 用B=A-PI来代替A解乘幂法，P是一个可选参数。 如果A的特征值为λ1，λ2，L,λn，则B 的相应特征 征值为 λ1 − P,λ2 − P,L,λn − P ，而且A，B的特征 向量相同，BX = (A− PI)X = (λ − P)X
原点平移法(续) 若A的主特征值为x1,则P的选取要求A-P仍 然是B的主特征值,即 P(j=2,3,4,…,n) 且使mA-P < 2≤j≤n 这时对AP解乘幂法,就会有较快的收敛速度 求得A-PⅠ的按模最大的特征值A之后,A的按模 最大的特征值为1,而AP对应于A的特征向量就是 A对应于的特征向量。参数P的选取依赖于对A的特征值 分布的大体了解。这可通过盖尔圆定理得到矩阵特征 值的分布。 2004-12-1 20
2004-12-1 20 原点平移法（续） 若A的主特征值为λ1，则P的选取要求 仍 然是B 的主特征值，即 λ1 − P ( 2,3,4, , ) λ1 − P > λ j − P j = L n 且使 1 2 2 1 max λ λ λ λ < − − ≤ ≤ p j p j n 这时对A-PI解乘幂法，就会有较快的收敛速度。 求得A-PI 的按模最大的特征值 µ1之后，A的按模 最大的特征值为 ,而A-PI对应于µ1 的特征向量就是 λ1 A对应于 的特征向量。参数P的选取依赖于对A的特征值 分布的大体了解。这可通过盖尔圆定理得到矩阵特征 值的分布。 λ1