乘幂法(续) 上述由已知非零向量0及矩阵A的乘幂A4构造 向量序列y}以计算A的特征值及相应的特 征向量的方法称为幂法 以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。当汰小或 太大时,将会使过小或过大,以致运算无法继 续进行。因此,实际计算时,每步要进行规范化。 于是得到以下规范化算法: U(0)=0≠0 W( )=AU(k-D k=1,2,… (k)=(k)/max((k) 其中,max(x)表示向量)怕最大分量。 2004-12-1 11
2004-12-1 11 乘幂法（续） 于是得到以下规范化算法： 1,2,L / max 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) (0) (0) = = = = ≠ − k U V V V AU U V k k k k k （ ） 征向量的方法称为幂法。 k A (0) 上述由已知非零向量V 及矩阵A的乘幂 构造 { } （k） 向量序列 V 以计算A 的特征值 λ1 及相应的特 ( ) (k ) 其中，max V 表示向量V (k )的最大分量。 以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。当 太小或 太大时，将会使 过小或过大，以致运算无法继 续进行。因此，实际计算时，每步要进行规范化。 λ1 ∞ (k ) V
乘幂法(续) 对于规范化的幂法有如下收敛性定理 定理:设A∈R有n个线性无关的特征向量, 其特征值满足A4>内2≥…≥n,则按规范化幂法 构造的序列有mX)=1lmU6=-x k→∞ k→>∞ max(x) 证明:取p=∑q1x≠0a≠0)构造向量序列 ()=A(0)=AV0 U(1)=)/max(() maX(Av (0) 2004-12-1 12
2004-12-1 12 乘幂法（续） 对于规范化的幂法有如下收敛性定理 ： 证明：取 （0 1 0）构造向量序列 1 (0) = ∑ ≠ ≠ = V a x a j n j j 其特征值满足 λ1 > λ2 ≥L≥ λn ,则按规范化幂法 定理 ： n n R × 设A ∈ 有n个线性无关的特征向量， ( ) max( ) lim 1 1 x x U k k = 构造的序列有 →∞ ( ) 1 lim max( ) = λ →∞ k k V (1) (0) 0 V = AU = AV （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 0 0 1 1 (1) max / max AV AV U =V V =
乘幂法(续) A2V J(2)=AC0)= maX(Av(o) U(2)=(2)/max(p2) max (Av(o) (0) (42) max( max(Ay(o)) max(A2V(O) 2004-12-1 13
2004-12-1 13 = = (2) (1) V AU （ （ ）） （ ） 0 2 0 max AV A V 乘幂法（续） U（2）=V（2）/ max（V（2）） ) max( ) ( ) max( 1 . max (0) 0 2 (0) 2 0 AV AV A V A V （ （ ）） （ ） = max( ) 2 (0) 2 (0) A V A V =
乘幂法(续) V(k)=AU (k-1) max(ak-ly( o (k) A V max(Av(O) 而A=∑a鸡x=有x+∑a(,) 24x+2a2)x 故 (k) maxx4+∑a() x, max[x (K) Im k→ max x, 2004-12-1
2004-12-1 14 乘幂法（续） = = ( k ) （ k − 1 ） V AU （ （ ） ） （ ） 1 0 0 max A V A V k k − M max( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) A V A V U k k k = [ ] 2 1 1 1 1 1 0 j j k n j j k i n i k i i k A V a x a x a （ ） x （ ） λ λ ∑ λ λ ∑ = = = = + max[ ] max [ ] [ ] 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) x x a x a x a x a x U n j j j j k n j j j j k k → + + = ∑ ∑ = = （ ） （ ） λ λ λ λ λ λ 即 = → ∞ （K） k lim U max[ ]1 1 x x 而 故
乘幂法(续) kI(o) max(v())=max A V max (ak-yto) k t>a max j=21 maN44x1+∑1(3)x j=2 ax+∑a(,)x maX →>A(k→>) max[(a, x,+∑a(,)x 即max(F6)=,收敛速度依赖于|。证毕 2004-12-1 15
2004-12-1 15 = （ − （ ） ） （ ） 1 0 0 ( ) max max( ) max A V A V V k k k + + = ∑ ∑ = − − = n j j j k j k n j j j k j k a x a x a x a x 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 max[ ] [ ] max （ （ ） （ ） λ λ λ λ λ λ 1 2 λ λ max 1 lim = λ → ∞ （ （ k ） ） k 即 V ，收敛速度依赖于 。 ] ( ) max[ ] [ max 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 → → ∞ + + = ∑ ∑ = = k a x a x a x a x n j j j k j n j j j k j λ λ λ λ λ λ （ （ ） （ ） 乘幂法（续） 证毕