例13-1求以下函数的象函数。 (1)指数函数 Lle=e"e"dt s-a)t 0 5-a (2)单位阶跃函数 L()1(h=me"h=-1en=1 当a=0时e“(1)=E(t) (3)单位冲激函数 L6()-r()ct=6(l=1
(2)单位阶跃函数 (1)指数函数 s a e s a L e e e dt a t a t s t s a t − = − = = − − − − − 1 0 1 [ ] ( ) 0 s e s L t t e dt e dt s t s t s t 1 0 1 [ ( )] ( ) 0 0 = = = = − − − − − − + a 0 e (t) (t) at = = 当 时 − (3)单位冲激函数 [ ( )] ( ) ( ) 1 0 0 0 0 = = = + − − − − L t t e dt t e dt s t s 例13-1 求以下函数的象函数
§13-2拉普拉斯变换的基本性质 线性 若L!f1()=F1(S),L/2()=F2(S) A Lafi(t)+bf2(0]=aF(S)+bF(S) 证:可f()+bf2()lr =f1()et+ 0 bf,(t)e dt =aF(S)+bF,(s)
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性 [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 若L f1 t = F1 S L f2 t = F2 S ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 0 2 0 1 0 1 2 aF S bF S af t e dt bf t e dt af t bf t e dt s t s t s t = + = + + − − − 证 ： [ ( ) ( )] 1 2 则 L af t + bf t ( ) ( ) = aF1 S + bF2 S
例132若:1)()= sin(at) 2)∫(t)=k(1-e") 上述函数的定义域为[0,∞],求其象函数 AF 1LIsin(a)]=LI(e/or-e Jax ) 2i 2iS-jo S+jo S+a 2)LK(1-e)=LK-LKe“ K k sS+a S(s+a)
2 2 ] 1 1 [ 2 1 ( )] 2 1 1) [sin( )] [ + = + − − = = − − S j S j S j e e j L t L 解 ： j t j t 例13-2 若： 2) ( ) (1 ) 1) ( ) sin( ) at f t k e f t t − = − = 上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。 ( ) 2) [ (1 )] [ ] [ ] s s a Ka s a K s K L K e L K L Ke a t a t + = + = − − = − − −
二、导数性质 uav = uv- vau 1.时域导数性质 u=es, dv=df(t) 设:Lf(t=F(S,则: d(n1=SF(S)-f(0) :mf(ta"=le“u() dt sPSt f(oo f(2(s)d =SF(S)-f(0)
二 、导数性质 1. 时域导数性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ = − − SF S f dt df t L ( ) (0 ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − − − − − − = − − − = = − − − SF S f e f t e f t s dt e dt e df t dt df t s t s t 证 ： s t s t 设：L[ f (t)] = F(S), 则： u e ,dv df (t ) udv uv vdu st = = = − −
例13-3应用导数性质求下列函数的象函数: 1)f(t)=c0s(Of); 2)f(t)=(t) AF: 1)Lcos(at)=LL(sin(at)) (S 0) 2 0S-+ s+0 2由于8(t) 女e(t),LE(D) (以)=D6(切≈n1 s--0=1
2 2 2 2 ( 0) 1 (sin( ))] 1 :1) [cos( )] [ + − = + = = s s s s t dt d 解 L t L 例13-3 应用导数性质求下列函数的象函数： 2) ( ) ( ). 1) ( ) cos( ); f t t f t t = = 0 1 1 [ ( )] [ ( )] 1 2) ( ) ( ), [ ( )] = = − = = = s t s dt d L t L s t L t dt d t 由 于