0(R(x, y,(z2(x, y)) - R(x, y,z,(x, y))dxdyD(xp)R(x, y,(z2 (x, y)dxdyD(xy)- 0R(x, y,(z (x, y))dxdyD(xy)R(x, y,z)dxdy - R(x, y,z)dxdyS2SiR(x, y,z)dxdy + R(x, y,z)dxdy,S2Si其中 S, S,都取上侧. 又由于 S,在xy 平面上投影面后贡巡回前页
前页 后页 返回 其中 都取上侧. 又由于 平面上投影面
积为零,所以 R(x,y,z)dxdy =0 .S.从而得到Rdxdydz = Rdxdy + Rdxdy + oRdxdyVS2S3St@Rdxdy.s对于不是xy型区域的情形，一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论后页巡回前页
前页 后页 返回 从而得到 对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 积为零, 所以 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论
例1计算I = y(x - z)dydz + x'dzdx +(y* + zx)dxdy,S其中S是边长为α的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式é+v(x - z))xz)i dxdydz0velxu(y + x)dxdydz=o ddzQ dyQ (y+x)dxV18aa-dy=a4cay+=a20岚回前页后页
前页 后页 返回 例1 计算 其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧. 解 应用高斯公式
注若在高斯么式中 P=X,Q=y,R=Z, 则有@xdydz + ydzdx + zdxdy = (1 + 1 + 1)dxdydz.SV于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积的么式：DV =一xdydz + ydzdx + zdxdy .3Si例2 升算 y(x - z)dydz + x’dzdx +(y + xz)dxdys其中 S为曲面 z=5- x2-y 上 z3 1的部分, 并取上侧.后贡巡回前页
前页 后页 返回 注 若在高斯公式中 则有 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V的体 积的公式: 例2 计算 其中 为曲面 上 的部分, 并取 上侧
解由于曲面不是封闭的，不能直接应用高斯公式为了能使用高斯公式以方便计算，可补充一块平面S, :x2 + y2 ± 4,z=1, 并取下侧, 则 SE S, 构成一封闭曲面.于是@ y(x - z)dydz + x'dzdx +(y* + xz)dxdySES,= ci(x + y)dxdydzVM2pdro (rcosq +rsinq)rdz = 0后贡巡回前页
前页 后页 返回 解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面 并取下侧, 则 构成一封 闭曲面.于是