物理奥林匹克竞赛：全国物理奥林匹克竞赛第31届复赛试题（含参考答案）

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2014年9月20日 一、(12分)2013年6月20日，“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了 我国首次太空授课.授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面 张力引起的效应.视频中可发现漂浮的液滴处于周期性的脉动”中 振动的 (平时在地球表面附近，重力的存在会导致液滴下降太快，以至于很 液滴 难观察到液滴的这种“脉动”现象).假设液滴处于完全失重状态，液 滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化（振动），如图所示 (1)该液滴处于平衡状态时的形状是 (2)决定该液滴振动频率∫的主要物理量是 (3)按后面括号中提示的方法导出液滴振动频率与上述物理量的关系式.（提示：例如，若认为 a,b,c是决定该液滴振动频率的相互独立的主要物理量，可将液滴振动频率∫与a,b,c的关系式表 示为∫ca“bc，其中指数，B,y是相应的待定常数.) 解答： (1)球形 (2)液滴的半径”、密度p和表面张力系数σ（或液滴的质量m和表面张力系数σ） (3)解法一 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 f=kr"p or ① 式中，比例系数k是一个待定常数.任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值 {a}的乘积a={a[a].按照这一约定，①式在同一单位制中可写成 {ff]={k}{r}“{p}{o[r][p]P[Y 由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而 V]=[r]"[P]"[oY ② 力学的基本物理量有三个：质量m、长度I和时间1，按照前述约定，在该单位制中有 m={m[m,1={)[0,t={t[ 于是 f]=[ ③ []=[四 ④ [P]=[m](n3 ⑤ 1 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

1 第 31 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2014 年 9 月 20 日 一、（12分）2013年6月20日，“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了 我国首次太空授课. 授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面 张力引起的效应. 视频中可发现漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中 （平时在地球表面附近，重力的存在会导致液滴下降太快，以至于很 难观察到液滴的这种“脉动”现象）. 假设液滴处于完全失重状态，液 滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化（振动），如图所示. （1）该液滴处于平衡状态时的形状是__________； （2）决定该液滴振动频率 f 的主要物理量是________________________________________； （3）按后面括号中提示的方法导出液滴振动频率与上述物理量的关系式.（提示：例如，若认为 a b c , , 是决定该液滴振动频率的相互独立的主要物理量，可将液滴振动频率 f 与a b c , , 的关系式表 示为    f a b c  ，其中指数   , , 是相应的待定常数.） 解答： （1）球形 （2）液滴的半径r 、密度  和表面张力系数 （或液滴的质量m 和表面张力系数 ） （3）解法一 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为    f k r    ① 式中，比例系数k 是一个待定常数. 任一物理量a 可写成在某一单位制中的单位[ ] a 和相应的数值 { }a 的乘积a a a  { }[ ]. 按照这一约定，①式在同一单位制中可写成 { }[ ] { }{ } { } { } [ ] [ ] [ ]       f f k r r      由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而 [ ] [ ] [ ] [ ]    f r    ② 力学的基本物理量有三个：质量m 、长度l 和时间t ，按照前述约定，在该单位制中有 m m m { }[ ] ，l l l  { }[ ] ，t t t { }[ ] 于是 [ ] [ ] f t  1 ③ [ ] [ ] r l  ④ [ ] [ ][ ]    m l 3 ⑤ 振动的 液滴 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 [o]=[m]ur2 ⑥ 将③④⑤⑥式代入②式得 [r=(m3(m2)y 即 [=叮-3[m]+[t2 ⑦ 由于在力学中[m、[☑和[U三者之间的相互独立性，有 a-3β=0， ⑧ B+y=0, ⑨ 2y=1 ⑩ 解为 ① 将①式代入①式得 ② 解法二 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 f=kr“pσ ① 式中，比例系数k是一个待定常数.任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值 {a的乘积a={a[a].在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等 V]=[r]"[p]"[or ② 力学的基本物理量有三个：质量M、长度L和时间T,对应的国际单位分别为千克(kg)、 米(m)、秒(s).在国际单位制中，振动频率f的单位f]为s，半径r的单位r]为m,密度p 的单位[p]为kgm3,表面张力系数o的单位[o]为Nml=kg·(ms2)ml=kgs2,即有 f]=s1 ③ [r]=m ④ [e]=kg.m3 ⑤ [o]=kg.s2 ⑥ 若要使①式成立，必须满足 s1=m(（kgm3)(kgs2）了=(kg)7.ma-38.s2 ⑦ 由于在力学中质量M、长度L和时间T的单位三者之间的相互独立性，有 2 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

2 [ ] [ ][ ]    m t 2 ⑥ 将③④⑤⑥式代入②式得 [ ] [ ] ([ ][ ] ) ([ ][ ] )       t l m l m t 1 3 2 即 [ ] [ ] [ ] [ ]          t l m t 1 3 2 ⑦ 由于在力学中[ ] m 、[ ]l 和[ ]t 三者之间的相互独立性，有     3 0 ， ⑧     0， ⑨ 2 1   ⑩ 解为 3 1 1 , , 2 2 2         ⑪ 将⑪式代入①式得   f k  r3 ⑫ 解法二 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为    f k r    ① 式中，比例系数k 是一个待定常数. 任一物理量a 可写成在某一单位制中的单位[ ] a 和相应的数值 { }a 的乘积a a a  { }[ ]. 在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等 [ ] [ ] [ ] [ ]    f r    ② 力学的基本物理量有三个：质量 M 、长度 L 和时间T ，对应的国际单位分别为千克（kg）、 米（m）、秒（s）. 在国际单位制中，振动频率 f 的单位[ ] f 为s 1 ，半径r 的单位[ ]r 为 m，密度  的单位[ ]  为 3 kg m  ，表面张力系数 的单位[ ]  为 1 2 1 2 N m =kg (m s ) m kg s           ，即有 [ ] s f  1 ③ [ ] m r  ④ [ ] kg m     3 ⑤ [ ] kg s     2 ⑥ 若要使①式成立，必须满足 s m kg m kg s (kg) m s                         1 3 2 3 2 ⑦ 由于在力学中质量 M 、长度 L 和时间T 的单位三者之间的相互独立性，有 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 a-3B=0, ⑧ B+y=0, ⑨ 2y=1 ⑩ 解为 0s、3 ① 将①式代入①式得 ② 评分标准：本题12分.第(1)问2分，答案正确2分：第(2)问3分，答案正确3分：第(3) 问7分，⑦式2分，①式3分，@式2分（答案为fx,9、 分) 二、(16分)一种测量理想气体的摩尔热容比y=C,/C,的方法 (Clement--Desormes方法)如图所示：大瓶G内装满某种理想气体， 瓶盖上通有一个灌气（放气）开关H,另接出一根U形管作为压强计 M.瓶内外的压强差通过U形管右、左两管液面的高度差来确定.初 始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高， 记录此时U形管液面的高度差h,然后打开H,放出少量气体，当瓶 内外压强相等时，即刻关闭H.等待瓶内外温度又相等时，记录此时U 形管液面的高度差h,·试由这两次记录的实验数据h,和h,导出瓶内 气体的摩尔热容比y的表达式.（提示：放气过程时间很短，可视为无热量交换：且U形管很细， 可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变化前后的体积变化) 解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程： p,,,N,)放气绝热影张)R,6I,N,）)等容升温(P,,.N,) 其中，(P,'o,To,N,),(Po,',T,N)和(p'o,To,N)分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、 体积、温度和摩尔数.根据理想气体方程pV=NkT,考虑到由于气体初、末态的体积和温度相 等，有 P.N. ① 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

3     3 0 ， ⑧     0， ⑨ 2 1   ⑩ 解为 3 1 1 , , 2 2 2         ⑪ 将⑪式代入①式得 3 f k r    ⑫ 评分标准：本题 12 分. 第（1）问 2 分，答案正确 2 分；第（2）问 3 分，答案正确 3 分；第（3） 问 7 分，⑦式 2 分，⑪式 3 分，⑫式 2 分（答案为 3 f r    、 f k m   或 f m   的，也给这 2 分）. 二、(16 分) 一种测量理想气体的摩尔热容比 / C C p V   的方法 （Clement-Desormes 方法）如图所示：大瓶 G 内装满某种理想气体， 瓶盖上通有一个灌气（放气）开关 H，另接出一根 U 形管作为压强计 M．瓶内外的压强差通过 U 形管右、左两管液面的高度差来确定. 初 始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高， 记录此时 U 形管液面的高度差hi ．然后打开 H，放出少量气体，当瓶 内外压强相等时，即刻关闭 H. 等待瓶内外温度又相等时，记录此时 U 形管液面的高度差 f h ．试由这两次记录的实验数据hi 和 f h ，导出瓶内 气体的摩尔热容比 的表达式．（提示：放气过程时间很短，可视为无热量交换；且 U 形管很细， 可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变化前后的体积变化） 解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程： 0 0 0 0 0 0 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) p V T N p V T N p V T N i i f f f   放气(绝热膨胀) 等容升温 其中， 0 0 0 0 0 0 ( , , , ),( , , , , , , ) i i f f f p V T N p V T N p V T N )和( 分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、 体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程 pV NkT  ，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相 等，有 f f i i p N p N  ① 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 另一方面，设V'是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为P,时的体积， 即 (p,,I,N,)绝热膨张(po,V%,T,N) 此绝热过程满足 ② 由状态方程有pP,V'=N,kT和P,%=NkT,所以 ③ 联立①②③式得 ④ 此即 n y=-Po ⑥ In P Pr 由力学平衡条件有 P=Po+pgh ⑥ Pr=Po+pgh ⑦ 式中，P。=Pgh为瓶外的大气压强，p是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小.由⑤⑥ ⑦式得 In(1+) ho ⑧ ln(1+ h)-In h 利用近似关系式：当x01,ln1+x)≈x,以及h/h☐L,h,/h口1，有 h,Iho h 7=hh。-h,hh-h ⑨ 评分标准：本题16分.①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分. 解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程b,再通过等容升温过程 bc达到末态 4 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

4 另一方面，设V 是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为 p0 时的体积， 即 0 0 0 ( , , , ) ( , , , ) i i i p V T N p V T N   绝热膨胀 此绝热过程满足 1/ 0 0 i V p V p          ② 由状态方程有 p V N kT 0 i   和 0 0 f p V N kT  ，所以 f 0 i N V N V   ③ 联立①②③式得 1/ f 0 i i p p p p         ④ 此即 0 ln ln i i f p p p p   ⑤ 由力学平衡条件有 p p gh i i  0  ⑥ f f 0 p p gh    ⑦ 式中， p gh 0 0   为瓶外的大气压强，  是 U 形管中液体的密度， g 是重力加速度的大小.由⑤⑥ ⑦式得 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) i f i h h h h h h       ⑧ 利用近似关系式：当x x x ￾ 1, ln(1 )   ，以及 0 0 / 1, / 1 i f h h h h ￾ ￾ ，有 0 0 0 / / / i i i f i f h h h h h h h h h      ⑨ 评分标准：本题 16 分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各 2 分． 解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程 ab，再通过等容升温过程 bc 达到末态 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 (p,,)绝热膨张ab(p,,T)等容升温c(p,,T) 其中，(p,V,T。),(Po,Vo,T)和(p,'o,To)分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体 积与温度.留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程 ab :P-To=Po-T-Y ① bc: PoIT=Pr/To ② 由①②式得 告- ③ 此即 In P ④ In P Pi 由力学平衡条件有 P:=Po+pgh ⑤ Pr=Po+pghr ⑥ 式中，P。=Pgh,为瓶外的大气压强，p是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小.由④ ⑤⑥式得 ln(1+ hi) ho Y=- ⑦ n(l+么)-ln(I+ h h 利用近似关系式：当x01,ln(1+x)≈x,以及h/h口1，h,/h口1，有 hho h Y-h,o-h,llo ha hr ⑧ 评分标准：本题16分.①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分. 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

5 1 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) p V T p V T p V T i f   绝热膨胀ab 等容升温bc 其中， 1 0 0 0 0 0 ( , , ),( , , , , ) i f p V T p V T p V T )和( 分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体 积与温度．留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程 1 1 0 0 ab:         p T p T i  ① bc: / / p T p T 0 0  f ② 由①②式得 1/ f 0 i i p p p p         ③ 此即 0 ln ln i i f p p p p   ④ 由力学平衡条件有 p p gh i i  0  ⑤ f f 0 p p gh    ⑥ 式中， p gh 0 0   为瓶外的大气压强，  是 U 形管中液体的密度， g 是重力加速度的大小．由④ ⑤⑥式得 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) i f i h h h h h h       ⑦ 利用近似关系式：当x x x ￾ 1, ln(1 )   ，以及 0 0 / 1, / 1 i f h h h h ￾ ￾ ，有 0 0 0 / / / i i i f i f h h h h h h h h h      ⑧ 评分标准：本题 16 分．①②式各 3 分，④⑤⑥⑦⑧式各 2 分． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理