第33届物理决赛理论题解 第33届物理奥林匹克竞赛决赛理论题解 叶邦角整理 第一题解答： (1)火车和煤从大同到秦皇岛（去程）总的重力势能的改变的一部分用于火车在去程中克 服阻力所做的功，另一部分驱动火车发电机发电。因而火车发电机的输入能量是 E=(m.+m,)g(h-0)-(m.+m)g ① 发电机发出的电能为 E2=nE ② 设空车返程后剩余电能为E,按题意，返程中给火车电动机输入的能量为(E,-),电动机 输出的能量为 E3=,(E2-E) ③ E,用于火车返程中克服阻力和重力所做的功，故 E,=m,g+m,g(h-0) ② 联立①②③④式得 E=n[(m。+m,)gh。-4(m。+m,)g]- um,gl m,gh n: ⑤ =7,(m。+m,)g(h.-l)-m,g h+川 (2)由E,≥0可知阻力系数4应满足“<h/1。据题意，如果火车能返回，则E≥0，可得 m。2me血 脉- ⑥ ⑥式右边即为装煤的最小值mm· (3)运行时间为 1=9 ⑦ 0 利用①②式，发电机输出平均功率P为 p=E mh(m +m )gh.M(m,+m)gl ⑧ 由⑦⑧式得 P=nm+m)g- ⑨ 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
第 33 届物理奥林匹克竞赛决赛理论题解 叶邦角整理 第一题解答： 第33届物理决赛理论题解 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理 Ye Bangjiao
第33届物理决赛理论题解 第二题解答： (1)D点与质心C距离为x-,/2。设在冲量作用后的瞬间，质心平动速度大小为0。。B、 C点以同一角速度绕O点转动，B点的速度大小？。应满足 'a=@ ① %=-4号 ② 由冲量定理得 I=mec ③ 由于冲量作用点不在质心，冲量I的冲量矩还引起杆绕质心的转动。由刚体转动定理得 mli ja=1x) ④ [或 品++a+ ④] 联立①②③④式得 ⑤ 21 ⑥ m(21+12) (2)解法一：水平竖直方向坐标系如图，在O、B、A三点所在竖直 平面内，以O为原点、水平向右的射线为x轴、竖直向上的射线为y 轴，建立平面坐标系。 杆的质心C的加速度(a。,ag,)满足质心运动定理 mac =-Tsin,mdcy =-mg +Tcose ⑦ 式中，T是绳的张力的大小。同时，杆在绳张力T相对于杆的质心的 力矩作用下绕质心转动，由转动定理得 五m54=-7头如g-0 1 ⑧ 由几何关系得 0=0-sm80.%0=.0+os80 ⑨ 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
第二题解答： 第33届物理决赛理论题解 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理 Ye Bangjiao
第33届物理决赛理论题解 将上式两边对时间1微商得，B点的速度满足条件 a0=0a0-200cos80,0m0=00-00lsin80 ⑩ 将上式两边对时间1微商得，B点的加速度满足条件 a=a以oas8+m以，a=w以如8-4am4@ 1 同时B点随不可伸长的绳绕O点做定轴转动，应有 xg(1)=h sine(t),ya(r)=-h cose(r) 1② 将上式两边对时间1微商得，B点的速度还满足条件 vm()=()lcos8(),0()=4()1sin8() 13 将上式两边对时间，微商得，B点的加速度还满足条件 a=ah cose-ah sine,ay=ah sine+oih cose ④ 【或避开B点，直接得C点的位置坐标 e0=4si血80+si血80，%0=-cos80-5cos80 ⑨12 o0=40cos80+,80cos8,0,.0=4ae)sin80+,d)sin8,(0 ⑩13 a (r)=-1(a cose-o'sine)-(a:cose-o.'sine), ag)=4(sin8a+cos8g)+号(sin6a,+cos6@)） ①④ 联立⑦⑧①④式，可解得绳绕悬点和杆绕质心的角加速度分别为 a=-2gtsing +3cos,simn(+sin2 sin(-0.) 2l1+3sin2(g-8) a-12g cos0 sin(-)+12i sin(.)+,sin(2(0-0.) ⑤ 24,[1+3sin'(e-6J 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
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第33届物理决赛理论题解 解法二：沿杆坐标系。 在O、B、A三点所在竖直平面内，以质心C为原点、沿杆斜向上的射线为y轴、竖直于杆 斜向右的射线为X轴，建立平面坐标系。 杆的质心C的加速度(aa,a。)满足质心运动定理 mac =-mgsine:+Tsin(e-),macy =-mg cose +T cos(0.-e) 式中，T是绳的张力的大小。同时，杆在绳张力T相对于杆的质心的力矩作用下绕质心转动， 由转动定理得 m5a=-7sm(8-8) 1 ⑧ 2 由几何关系得B点的加速度为 ams =la cos(0-0)+(e-0),am =-la sin(e.-0)+cos(0-0)1 由几何关系还可得B点的加速度满足条件 am=0- 24@ ① 【或由几何关系得C点的加速度 =0a+:g=0+ ① 】 解法三：沿绳坐标系。 在O、B、A三点所在竖直平面内，以O为原点、沿绳斜向上的射线为y轴、竖直于绳斜向 右的射线为x轴，建立平面坐标系。 杆的质心C的加速度(ac,ao)满足质心运动定理 macx =-mg sin,macy =-mg cos +T ⑦ 式中，T是绳的张力的大小。同时，杆在绳张力T相对于杆的质心的力矩作用下绕质心转动， 由转动定理得 a=-7头ma-8) ⑧ 12 由几何关系得B点的加速度为 am=la1,a=l,网 ④ 由几何关系还可得B点的加速度满足条件 do =am+a;cos(0-)-o sin(0.-0), 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
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第33届物理决赛理论题解 sin()co(-) ① 【或由几何关系得C点的加速度 a%=aa+2aco8-8)-7.osin(8-8), s=a,+4sin6-40)+gcos8-40 1 ① 】 【对于此坐标系，还可写做： ma=-7,g-) 1 ⑧ -mg cos8+T=4a+.a,sin(8-4)+与，ocos(8-8) (al) -mgsin=a+acos(0-)-sin-Q) (a2) 由⑧(al)式可消去T,解得a,带入(a2)可解得a,。这是最为简便的方法。 】 解法四：非惯性参考系。 在O、B、A三点所在竖直平面内，以O为原点、沿绳斜向上的射线为y轴、竖直于绳斜向 右的射线为x轴，建立平面坐标系。取以O点为参考点的惯性参考系，记为0系：取以B 点为参考点的非惯性参考系，记为B系。 在惯性系O系中杆的质心C的加速度(a。,a。)满足质心运动定理 macx =-mgsin,macy =-mg cos +T ⑦ 式中，T是绳的张力的大小。同时，杆在绳张力T相对于杆的质心的力矩作用下绕质心转动， 由转动定理得 2m4=-7s如g-9 ⑧ 、3 由几何关系知，非惯性系B系相对于惯性系0系的加速度为 0m=I41,0=l ④ 杆质心C在非惯性系B系中的加速度为 oo'..co0-90-网sng-80. ,sin+c) ①-1 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
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