中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共九题，满分160分.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算 步骤.只写出最后结果的不能得分.有数字计算的题.答案中必须明确写出数值和单位.填 空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程， 一、(15分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）.若干个 摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减 小.设重力加速度g=9.80m/s2, 1·试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：(a)每个 摆的摆长不小于0.450m，不大于1.00m;(b)初始时将所有摆球由平衡点沿x轴正 方向移动相同的一个小位移xo(x0<<0.45m),然后同时释放，经过40s后，所有的摆能 够同时回到初始状态， 2·在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时 间为 二、(20分)距离我们为L处有一恒星，其质量为M,观测发现其位置呈周期性摆 动，周期为T，摆动范围的最大张角为△0.假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕 它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程， 若L=10光年，T=10年，△0=3毫角秒，M=Ms(Ms为太阳质量)，则此行星 的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量Ms和国际单位AU(平均日地 距离)作为单位，只保留一位有效数字。已知1毫角秒-00角秒，1角秒360度， 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共九题，满分 160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算 步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填 空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程． 一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个 摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减 小．设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个 摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于 1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正 方向移动相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能 够同时回到初始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时 间为________________________________________. 二、（ 20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆 动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为 △ θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕 它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年， △ θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms 为太阳质量），则此行星 的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地 距离）作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒= 1 1000 角秒，1 角秒= 1 3600 度， 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 1AU=1.5×108km,光速c=3.0×10km/s. 三、(22分)如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m,半径为R,螺距H=πR, 可绕竖直的对称轴O0',无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计， 质量也为的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动，首先扶住小球使其静止于螺 旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态.然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑， 螺旋环便绕转轴OO',转动.求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺 旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小. 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
1AU=1.5×108 km,光速 c = 3.0 ×105 km/s. 三、（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为 m，半径为 R ，螺距 H =πR ， 可绕竖直的对称轴 OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一 质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺 旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑， 螺旋环便绕转轴 OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺 旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 四、(12分)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子作角速度为o、半 径为R的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d(d> R),在导线上通有随时间变化的电流L,仁0时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的 距离为d+R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流i,的磁场对粒子的作用力，试求出电流ⅰ 随时间的变化规律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线电流产生的 磁感应强度表示式中的比例系数k已知. 五、(20分)如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q(Q>0), 半径分别为R和R2,小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O'的连线MN沿竖直 方在MN与两球面的交点B、O和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计， 有一质量为m,带电荷为q(q>0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。设静 电力常量为k,重力加度为g 1.要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？ 2.要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？ Q R/2 N 六、(20分)由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列.=1时，正 方形网络边长为L,=2时，小正方形网络的边长为L3；=3时，最小正方形网络的边长为 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
四、（ 12 分）如图所示，一质量为 m、电荷量为 q ( q > 0 ）的粒子作角速度为 ω、半 径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为 d ( d > R ) ，在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的 距离为 d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律．不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响．长直导线电流产生的 磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知． 五、（20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q 和-Q (Q >0) ， 半径分别为 R 和 R/2，小球面与大球面内切于 C 点，两球面球心 O 和 O’的连线 MN 沿竖直 方在 MN 与两球面的交点 B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计， 有一质量为 m，带电荷为 q(q>0 的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静 电力常量为 k，重力加度为 g. 1．要使质点从 A 点上抛后能够到达 B 点，所需的最小初动能为多少？ 2．要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？ 六、（ 20 分）由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列．n=1 时，正 方形网络边长为 L,n= 2 时，小正方形网络的边长为 L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 L9.当=1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？ n=2 n=3 七、(15分)地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对 太阳辐射的吸收)一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收.被吸收的部分最终 转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）.热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温 室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球 表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射 功率J与表面的热力学温度T的四次方成正比，即=σT4,其中。是一个常量.已知太阳 表面温度T,=5.78×103K,太阳半径R=6.69×105km,地球到太阳的平均距离d-1.50×108 k,假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为 p=0.38. 1.如果地球表面对太阳辐射的平均反射率=0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反 射作用后，地球表面的温度是多少？ 2.如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为α1=0.85，其余部 分的反射率处2=0.25，间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为273K. 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
L/9．当 n=1、2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？ 七、（15 分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对 太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收．被吸收的部分最终 转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）．热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温 室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球 表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射 功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即 J=σT4 ,其中 σ 是一个常量．已知太阳 表面温度 Ts=5.78×103 K ，太阳半径 Rs=6.69×105 km ,地球到太阳的平均距离 d=1.50×108 km ．假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为 ρ=0.38 . 1．如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 α=0.30 ，试问考虑了温室气体对热辐射的反 射作用后，地球表面的温度是多少？ 2．如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为 α1=0.85 ，其余部 分的反射率处 α2=0.25 ．间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K . 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 八、(20分)正午时太阳的入射光与水平面的夹角0=45，有一座房子朝南的墙上有一个 直径W=1Ocm的圆窗，窗口中心距地面的高度为H,试设计一套采光装置，使得正午时 刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前2 倍的平行光.可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜：平面镜的 反射率为80%，透镜的透射率为70%，忽略透镜表面对光的反射.要求从这些器件中 选用最少的器件组成采光装置.试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光 路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件 南 九、(16分)已知粒子1和粒子2的静止质量都是0，粒子1静止，粒子2以速 度Vo与粒子1发生弹性碰撞. 1若碰撞是斜碰，考虑相对论效.试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是 钝角.若不考虑相对论效应结果又如何？ 2若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度 一、参考解答： 1.以1，表示第i个单摆的摆长，由条件(b)可知每个摆的周期必须是40s的整数分之 一，即 T=2元 40 (NM为正整数) (1) Vg N [(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆 长 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
八、（20 分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角 θ=450 ．有一座房子朝南的墙上有一个 直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H ．试设计一套采光装置，使得正午时 刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍的平行光．可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的 反射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 % ，忽略透镜表面对光的反射．要求从这些器件中 选用最少的器件组成采光装置．试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光 路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件. 九、（ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0 ，粒子 1 静止，粒子 2 以速 度 v0与粒子 1 发生弹性碰撞． 1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效．试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是 钝角．若不考虑相对论效应结果又如何？ 2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度. 一、参考解答： 1．以 i l 表示第 i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是 40s 的整数分之 一，即 i i i 40 2π l T g N （Ni为正整数） （1） [(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆 长 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理